Enigme Lapindrome premier •˛• 1/2 @ Prise2Tete

TiLapiot · #1

Bjr, je suis un nombre premier palindrome. Si on m'ajoute à 2011, on obtient une somme palindrome. Sachant que la somme de mes chiffres est un carré parfait, qui suis-je ?

TiLapiot
✌(◕‿◕)✌

Edit: Rajout de quelques heures...

MthS-MlndN · #2

Peux-tu éclaircir la définition de "somme palindrome", je t'en prie ?

TiLapiot · #3

Si on ajoute 2011 à mon nombre premier palindrome, on obtient une somme, qui est elle aussi un palindrome. Je précise que je suis en base 10.

Et pour rappel, un nombre palindrome est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite, ou de droite à gauche. Comme 1, 11, 1001, 77377, ou 314151413.

psycho · #4

ca m a l air d etre 101

TiLapiot · #5

@Psycho:
Mon nb secret ne peut pas être 101...
car 101+2011=2112 : 101 et 2112 sont bien des nb palindromes,
mais la somme des chiffres de 101 est 1+0+1=2.
Or, 2 n'est pas un carré parfait

Je vous souhaite bon courage pour cette tite énigme !

NickoGecko · #6

Hello

J'ai trouvé pour la condition "premier palindromique + 2011 donne une somme palindromique" :

101 + 2011 = 2112
1998991 + 2011 = 2001002
3997993 + 2011 = 4000004
3998993 + 2011 = 4001004

parmi ces quatre, seule la somme : 3+9+9+7+9+9+3 = 49 est un carré parfait ....

donc 3997993 est solution,

il y en a peut-être d'autres ....

Merci,
A+

TiLapiot · #7

Bravo NickoGecko, tout bien !

masab · #8

Bonjour,

Une solution est p=3997993.

En effet on a p+2011=4000004.
La somme des chiffres de p est s=49.
p est premier
p et p+2011 sont des palindromes
s=7^2 est un carré parfait

C'est la plus petite solution.
Je ne sais pas s'il existe ou non d'autres solutions.

Cordialement,
masab

franck9525 · #9

Après avoir tâtonner avec quelques valeurs au hasard, un peu de méthode est nécessaire.

Un premier palindrome - palindromic prime aka palprime - contient un nombre impair de chiffres sauf 11.

aba ?

Code:

  2   0    1    1
+     a    b    a
------
= 2   a   1+b  a+1

=> a=1, b=0 mais la somme des chiffres n'est pas un carre

abcba ?

Code:

     2  0  1   1
+ a  b  c  b   a
------
= a b+2 c b+1 a+1

b(+1)+2+>9 donc b(+1)>7

b=7?
les retenues ne s’enchaînent pas.

b=8?
a+1/0/c/9/a+1 non

b=9?
a+1/1/c+1/0/a+1 non plus

abcdcba ?

Code:

           2  0  1   1
+ a  b  c  d  c  b   a
------
= a  b  c  d+2 c b+1 a+1

d(+1)>7
c=9
b=9
ce qui donne (a+1) 0 0 0/1/2 0 0 (a+1)
on a donc
a99(7/8/9)99a
la somme doit faire 49 donc 2a=13-7/8/9 => a=3ou2 => a=3
3997993 est-il premier ? Oui !

Code:

     2011
+ 3997993
= 4000004

Ceci est l'unique solution avec 7 chiffres.

9 chiffres ou plus ?
abcdedcba ?

Code:

                 2  0  1   1
+ a  b  c  d  e  d  c  b   a
------
= a  b  c  d  e  d+2 c b+1 a+1

Il est clair que le premier 'd' ne peut pas recevoir deux retenues, il n'y a donc pas de solution avec 9 chiffres ou d'avantage. La solution à cette énigme est donc unique.

TiLapiot · #10

Deux bonnes réponses de Masab et Franck9525
@Franck: quel boulot !

rivas · #11

Divertissant.

Les palindromes premiers ont un nombre impair de chiffres sauf 11.
En effet, un palindrome à nombre pair de chiffres est toujours divisible par 11.
On vérifie rapidement que les nombres premiers à 1 chiffre et 11 ne sont pas solutions.

On attaque donc avec 3 chiffres:

Code:

 2011
+ xyx
------

S'il n'y a pas de retenue du 3ème chiffre vers le 4ème, x doit valoir 1. Et on vérifie facilement qu'il n'y a pas de solution.
S'il y a une retenue, x doit valoir 2, ce qui est impossible (le nombre à 3 chiffres n'est pas premier).

On passe à 5 chiffres:

Code:

  2011
+xyzyx
------

S'il n'y a pas de retenue du 4ème chiffre vers le 5ème, le résultat commence par x et finit par x+1 et n'est donc pas palindrome.
Il faut donc une retenue donc y vaut au moins 8 et z 9.
On regarde donc les nombres x898x et x999x. Il y en a peu et aucun n'est solution.

On passe à 7 chiffres:

Code:

    2011
+xyztzyx
--------

Pour la même raison, une retenue est indispensable du 6ème vers le 7ème chiffre.
Cela impose y=z=9 et donc le nombre est de la forme:
x99t99x avec t = 7, 8 ou 9.

Le premier de cette forme est: 1998991
On a 1998991+2011=2001002.
Il reste à vérifier que la somme des chiffres est un carré parfait, ce qui n'est pas le cas :-(
On continue donc:

Le suivant est 3997993: 3997993+2011=4000004 dont la somme des chiffres n'est pas un carré parfait.

Le suivant est 3998993: 3998993+2011=4001004, dont la somme des chiffres est 9, un carré parfait.

La solution est donc: 3998993

Le plus dur a été de trouver une liste des premiers palindromes: http://oeis.org/A002385/b002385.txt

Merci pour cette énigme.

Edit: TiLapiot me fait remarquer que la somme des chiffres qui doit être un carré est celle du nombre lui-même et pas de la somme.
En reprenant les étapes ci-dessus, je trouve donc que la solution est 3997993 dont la somme des chiffres vaut 49.

gwen27 · #12

Pour ajouter 2011 à un palindrome et obtenir un palindrome, il faut que le nombre soit de la forme a99b99a avec b= 7 , 8 ou 9

Le seul carré que l'on puisse obtenir est 49 donc b est impair

Cela laisse : 2999992 qui n'est pas premier

et 3997993 qui heureusement est premier

J'ai bien aimé... surtout le temps perdu à chercher une liste des 663 premiers palindromes à 7 chiffres (que je n'ai toujours pas trouvée) alors qu'il suffisait de réfléchir un peu.

Gwen.

Franky1103 · #13

Bonjour TiLapiot,
J'ai écrit un bout de programme pour tester tous les nombres inférieurs à 100 000 répondant aux 3 critères et je n'en ai pas trouvé. Donc, soit ce nombre est supérieur à 100 000, soit je me suis planté dans mon programme. Laquelle des 2 affirmations est vraie ?
Merci et bonne journée.
Frank

scarta · #14

Nombre à 1 chiffre: a
2011 + a = 201(a+1) => impossible car 0 != 1

Nombre à 2 chiffres: aa
2011 + aa = 20(a+1)(a+1) => unités = 2 donc a=1 donc somme pas palindrome

Nombre à 3 chiffres: aba
2011 + aba = 2(a)(b+1)(a+1) => unités = 2 donc a=1 et pas de retenue sur les dizaines donc b+1 = 1 (pas de retenue sur les centaines, sinon b+1 vaudrait au moins 12)
aba = 101 qui est un palindrome premier, mais 1+0+1 n'est pas un carré parfait/

Nombre à 4 chiffres: abba
2011 + abba = (a+2)(b)(b+1)(a+1) => a+2 != a+1 (et a+3 != a+1) donc a+2 génère une retenue, le premier chiffre est 1 donc a+1 = 0 donc a=0, impossible

Nombre à 5 chiffres: abcba
2011 + abcba = (a)(b+2)(c)(b+1)(a+1) => a!=a+1, donc soit (a) génère une retenue, donc a=9 mais a+1 = 1, impossible; soit b+2 génère une retenue
On a alors (a+1)(b-8)(c)(b+1)(a+1), mais b-8!=b+1, même avec des retenues

Nombre à 6 chiffres: abccba
2011+abccba = (a)(b)(c+2)(c)(b+1)(a+1): a!= a+1, donc retenue sur (a), donc retenue sur (b) qui vaut 9; donc
=> (a+1)0(c-8)(c+1)0(a+1), mais c+1 != c-8 et avec une retenue c-9 != c-7

Nombre à 7 chiffres: abcdcba
2011+abcdcba = (a)(b)(c)(d+2)(c)(b+1)(a+1) => retenue sur (a), (b) et (c), b=c=9,
(a+1)00(d-7)00(a+1) => d est supérieur ou égal à 7, et a est inférieur à 9.

1997991 => 1+9+9+7+9+9+1 = 45
8999998 => 8+9+9+9+9+9+8 = 61
Seul carré entre les deux: 49, donc a+a+d = 13

2999992 => pas premier
3997993 => premier, somme des chiffres = 7², 2011+3997993 = 4000004 palindrome

La réponse est donc 3997993

TiLapiot · #15

Encore trois belles réponses de Gwen27, Scarta et Rivas :
let's welcome to the podium !

@Franky1103: encore un (gros) peu, et tu y seras aussi !
(faites-lui de la place, les autres)

nodgim · #16

Pfff....même pas le temps de lire les messages quand je rentre le soir que c'est déja fini....

TiLapiot · #17

Déjà fini...?! Huh???
Mais non, Nodgim!
Je te confirme qu'il reste ~95h...

Spoiler : [Afficher le message]

sangokussj5 · #18

1

golgot59 · #19

Salut !

Bon, ce serait trop long à expliquer, il est déjà tard mais j'ai trouvé 1.997.991 :
si on ajoute on obtient 2.000.002, dont la somme des chiffres fait 4, carré parfait !

algao · #20

Bonjour,
Ma première réponse à une énigme du forum, alors si elle est fausse, soyez indulgents. J"ai découvert ce site lundi. C'est presque addictif ...
Je propose 3 997 993.
Bonne continuation.
Alain

TiLapiot · #21

Une bien belle entrée en matière pour Algao ! Bienvenue et bravo

Golgot59 et sangokussj5 : hélas non, mais il vous reste encore beaucoup de temps.

nodgim · #22

Après avoir buté longtemps sur le 2 de 2011, j'en suis arrivé à dire qu'il ne pouvait être qu'au milieu, donc nombre à 7 chiffres. Ensuite il me fallait des restes pour compenser le 1 de 2011, donc obligé d'avoir des 9.
D'où 3997993 pour obtenir le carré parfait de 7.
Ensuite il a tout de même fallu vérifier la primalité de ce nombre.

Franky1103 · #23

Bonjour TiLapiot,
A la suite de mon message précédent, j'ai inutilement poussé mon bout de programme pour tester tous les nombres inférieurs à 1 000 000. Il semble qu'une troisième affirmation soit vraie: ce nombre cherché n'existe pas.
En effet, un nombre premier palindrome a forcément un nombre de chiffres impair (dans le cas contraire, ce nombre serait divisible par 11 et donc non premier).
Avec 1 seul chiffre, ce nombre n'existe pas: c'est assez facile à vérifier.
Avec 3 chiffres, "101" aurait pas marcher, mais il ne satisfait pas au 3è critère.
Avec 5 chiffres, on aurait (A)(B)(C)(B)(A) + 2011 = (A)(B+2)(C)(B+1)(A+1) aux retenues près: sans retenue A=A+1 impossible dans N et avec retenue A=9 donnant A+1=10 impossible pour la suite.
Donc au final, il n'y a pas de solution.
Bonne journée.
Frank

golgot59 · #24

Mal lu l'énoncé, désolé !

Je trouve après correction : 3997993.

TiLapiot · #25

► Encore deux réponses exactes...!
Bravo à eux, et une poignée d'heures pour les autres...

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#1 - 13-12-2011 22:49:12

aLpindrome premier •˛•

#0 Pub

#2 - 14-12-2011 00:00:57

Lapindromee premier •˛•

#3 - 14-12-2011 00:16:12

lapindeome premier •˛•

#4 - 14-12-2011 00:21:04

Lapindrome premier •ˉ•

#5 - 14-12-2011 08:06:39

Lapindrome premier &•#731;•

#6 - 14-12-2011 08:40:52

Lapindrme premier •˛•

#7 - 14-12-2011 10:07:20

Lapindome premier •˛•

#8 - 14-12-2011 11:03:46

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#9 - 14-12-2011 11:06:35

Lapindrom premier •˛•

Code:

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#10 - 14-12-2011 11:14:08

Lapinrome premier •˛•

#11 - 14-12-2011 11:21:49

Lapindrome premier •&˛•

Code:

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#12 - 14-12-2011 12:37:50

Lapindroe premier •˛•

#13 - 14-12-2011 14:27:03

Lapidnrome premier •˛•

#14 - 14-12-2011 14:39:39

lapindrole premier •˛•

#15 - 14-12-2011 14:52:05

lapundrome premier •˛•

#16 - 14-12-2011 18:16:12

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#17 - 14-12-2011 20:42:10

Lapindrome premier •#&731;•

#18 - 14-12-2011 21:35:10

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#19 - 14-12-2011 22:43:51

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#20 - 15-12-2011 10:28:31

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#21 - 15-12-2011 10:58:13

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#22 - 15-12-2011 19:14:24

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#23 - 15-12-2011 19:22:11

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#24 - 17-12-2011 08:24:00

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#25 - 18-12-2011 11:15:29

Lapindrome premier •˛•;

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