Si si PRINCELEROI 2 est autorisé .

Pas mal Jackv. la bonne réponse et mis à part la première phrase qui n'est pas justifiée, le reset est à peu près clair. désolé, je suis assez exigeant sur la clarté des explications (déformation professionnelle )

merci pour la précision, j'ai corrigé l'énoncé.

Les nombres sont 4 et 9.
Nina voit un produit qui peut être fait d'au moins 2 manières. Donc le produit est un nombre de cette liste : 12 (3*4, 2*6), 16(4*4, 2*8), 18(3*6,2*9), 36 (6*6,4*9). Angèle, puisqu'elle trouve a une somme qui ne peut pas être obtenue par 2 des 8 couples précédents. Donc la somme est un nombre de la suite : 7, 9, 10, 11, 12, 13.
Nina ne sait toujours pas, donc elle voit 18 ou 36. Comme Angèle précise que ce ne sont pas 2 nombres identiques et que Nina trouve c'est qu'elle a pu supprimer une des 2 possibilités pour 18 ou 36 et ce n'est possible que dans le cas de 36 (6*6). Et elle trouve 4 et 9.

Voilà

Ma réponse est refusée par la case réponse, mais je te donne quand même la solution que j'ai imaginée.

Le produit est 16. Ce peut être 2x8 ou 4x4.
Quand la sœur donne l'indice de deux chiffres différents l'autre comprend que c'est 2x8.

La solution est probablement beaucoup plus compliquée mais j'ai trouvé ça.

A plus !

Hamel, la réponse est bonne mais tout comme Jackv, le cheminement est pour le moins obscur surtout pour le début .

Bravo à SabanSuresh même si il y  a eu un oubli pour les 1er couples cités. Le raisonnement est bon et clair.

Bravo Klim, ta méthode "bourrin" est effectivement la plus efficace et la plus sûr. Elle est également très élégante puisque compréhensible sans grandes phrases. Rien a été oublié. C'est une totale réussite.

Lui-même, effectivement, ce n'est pas ça. Ton raisonnement avec 16 était un bon début, il faut poursuivre dans cette voie.

Bravo Gwen. Mais attention, Les nombres sont compris entre 2 et 9. Pas de 1 sinon tu ne pourrais pas conclure. Les explications sont également satisfaisantes.

Bravo à tous et bonne recherche aux autres

Il t'en manque encore

Non il ne l'est pas; il faut écrire x-y.

Si 1 fait partie du problème, Cela n'empèche pas Nina de trouver la bonne réponse, mais cela t'empèche toi de la trouver.

Ok! Tu dois avoir raison, j'ai été trop vite. Désolé de t 'avoir fait chercher dans le vide J'enlève le spoiler.

Je regarderai ca de plus près en rentrant chez moi.

Ok Gwen, bien vu pour 1. mais je pense que le problème est plus intéressant en l'enlevant. Ainsi, toutes les phrases du dialogue ont leur importance alors qu'avec le 1 la 2 ème phrase de Nina n'a plus aucun intérêt. D'un point de vue purement logique, le problème est (légèrement) plus riche ainsi.

Mais c'était une très bonne remarque .

OK, j'ai donc un souci :

Ca laisse 10 possibilités sur les 36 pour lesquelles Nina ne conclut pas :
3    4    12    7
2    6    12    8
4    4    16    8
2    8    16    10
3    6    18    9
2    9    18    11
4    6    24    10
3    8    24    11
6    6    36    12
4    9    36    13

Angelle concluant, la somme est unique parmi ces possibilités :

Cela laisse 4 possibilités :

3    4    12    7
3    6    18    9
6    6    36    12
4    9    36    13

On en revient à Nina : Comment peut-elle trancher entre 3/4, 3/6 et 4/9 sachant que ce n'est pas 6/6 ?

EDIT : Effectivement, je me suis perdu dans mon propre raisonnement...
Si Nina voyait 12 ou 18, Angelle ayant conclu, elle saurait quelle est la combinaison associée. C'est donc 36.

Détaillons: Nina ne peut connaitre le résultat avec le seul produit, c'est donc que ce produit existe en au moins 2 exemplaires. Donnons les paires (produit, somme) qui restent:
12 8; 16 10;18 11;12 7;24 11;16 8;24 10;36 13;36 12.
Angèle fait bien entendu le même filtre et a donc ces paires restantes sous les yeux.
Parmi ces paires restantes, éliminons celles dont la somme apparait 2 fois:
reste: 12 7; 36 12;36 13. (puisque Angèle connait la réponse c'est qu'elle n'a aucune somme en double). 
Le résultat est donc l'une de ces trois paires, que nous ne connaissons pas encore à ce moment du récit, mais que Angèle connait puisqu'elle connait la somme.
Nina, comme nous, a fait le même filtre et connait ces 3 paires résiduelles. Angèle sait que Nina le sait.
Il suffit alors à Angèle de donner l'indice que le produit n'est pas un carré. Car Angèle connait le produit, et donc l'impossibilité pour Nina de donner la réponse.
C'est avec cet indice que Nina, et nous lecteurs pouvons enfin deviner la solution, car 12 n'est pas un carré, cet indice aurait été inutile pour Angèle.
C'est la paire 36 13 donné par les nombres 9 et 4.