Bon, j'ai trouvé un nombre égal au cardinal de ses suites !

@Batistol: je ne comprends très bien ta question, aussi je donne un exemple:
Pour arriver à 10, on identifie ces suites :
1 10
1 2 10
1 5 10

Soit 3 suites. Qu'on note ou pas le 10 ne change rien, toutefois c'est plus clair en le notant.

J'ai corrigé l'énoncé, c'était peut être le mot " intermédiaire " qui pouvait prêter à confusion.

Masab, c'est bien ça, bravo.
Fait à la main ?

Hello

Comme résultat pour 360, j'ai 604.
Un exemple de nombre qui se référence lui-même: 48
(Mais aussi 1280 et quelques autres encore)

En gros, f(n) = sum(f(i), i|n), avec f(n) = f(1) = 1 pour n premier.

Accessoirement
  - f(p^n) = 2^(n-1) pour p premier
  - pour une décomposition en facteurs premiers n = prod(p_i^alpha_i), f ne dépend que des alpha_i (autrement dit, f(6 = 2x3) = f(143 = 13 x 11) = 3; f(48 = 2^4 x 3) = f(6875 = 5^4 x 11) = 48)

Voici comment je vois les choses :



Pour faire le décompte des suites pour un entier n (ici, 360), on détermine le nombre f de facteurs premiers distincts de n (ici, 3), et on fait un tableau à f entrées.

Ici, 360 = 2^3 * 3^2 * 5^1, donc je fais un tableau à triple entrée (en trois dimensions). Pour le remplir, la case (0,0,0) est initialisée à 1, puis pour remplir une case (a,b,c), je fais la somme de tous les nombres dans le pavé dont deux sommets opposés sont (0,0,0) et (a,b,c) (sauf la case (a,b,c) elle-même.

Par exemple, j'obtiens 818 en faisant (1+1+2+1+3+8+2+8+26) + (1+3+8+3+13+44+8+44+176) + (2+8+26+8+44+176+26+176). Ce qui me donne que le nombre de suites pour tout nombre de la forme p1².p2².p3² où p1, p2, p3 sont premiers vaut 818.

Pour la question de départ, je vais chercher dans mon tableau la case de coordonnées (3,2,1) et je trouve 604.

Sinon, pour la question subsidiaire, on peut regarder les cases du tableau et chercher quelles cases contiennent un nombre dont les puissances de la décomposition en facteurs premiers correspond aux coordonnées de la case : c'est le cas de 48 = 2^4 * 3^1 dans la case (4,1), mais aussi de 29808 = 2^4 * 3^4 * 23^1 dans la case (4,4,1).

J'en ai d'autres si tu veux (tous ceux =< 10^16 en fait)
https://projecteuler.net/problem=548

Nombres parfaits inférieurs à 10 millions :
[TeX]48=2^4\times 3[/TeX]
[TeX]1280=2^8\times 5[/TeX]
[TeX]2496=2^6\times 3\times 13[/TeX]
[TeX]28672=2^{12}\times 7[/TeX]
[TeX]29808=2^4\times 3^4\times 23[/TeX]
[TeX]454656=2^{12}\times 3\times 37[/TeX]
[TeX]2342912=2^{14}\times 11\times 13[/TeX]

Pour la formulation, je ne vois pas de problème, hormis que j'aurais dû préciser "avec p premier >2" ?

La démonstration, ce n'est pas une grosse affaire : il suffit de constater par récurrence que pour un nombre du type [latex]n=p^k[/latex], le nombre de suites est [latex]2^{k-1}[/latex], puis que pour un nombre du type [latex]n=p_1^k.p_2^1[/latex], le nombre de suites est [latex]2^{k-1}.(k+2)[/latex].

Ainsi, pour un nombre du type [latex]n=2^{2p-2}.p[/latex], le nombre de suites est [latex]2^{2p-3}.2p[/latex] soit le même nombre.

@ Ebichu: en fait, on a trouvé le même ensemble, c'est de mon coté qu'une nuance m'avait échappée, c'est corrigé maintenant.
Bravo à toi.

La suite des nombres "parfaits" est donnée dans le lien
https://oeis.org/A163272

@ Scarta: c'est bien ça, bravo à toi.

@ Masab: Le jeu sur ce site n'est pas d'aller chercher la solution sur internet. A titre d'info, ça ne manque pas d'intérêt, mais ce n'est pas le but principal.

nodgim : @ Masab: Le jeu sur ce site n'est pas d'aller chercher la solution sur internet.

Je ne suis pas du tout allé chercher la solution sur un autre site !
A l'aide d'un programme informatique de ma conception, j'ai trouvé la suite :
48, 1280, 2496, 28672, 29808, 454656, 2342912, 11534336, 57409536

En mettant cette suite dans google, je me suis aperçu avec étonnement qu'il s'agissait d'une suite connue. C'était juste une remarque ; je n'ai pas vu indiqué sur ce lien que la suite des nombres "parfaits" était infinie.

Pour [latex]p[/latex] nombre premier, on peut démontrer que le nombre de suites associées à [latex]n=p^r[/latex] est [latex]2^{r-1}[/latex] ([latex]r\geq 1[/latex]).