ce probleme ne me semble pas bien pose.

Je vois pas pourquoi. Il est évident que les chambres sont dénombrables puisqu'elle ont un chacun un numéro; de même pour les places des cars.

Comme l'a dit MthS, je fais des maths comme quelqu'un d'autre ferait des mots-croisés. J'ai appris des concept mathématiques qui représentent rarement quelque chose de réel, mais j'aime les manipuler et trouver des résultat surprenant.

D'ailleurs dernièrement j'ai découvert que [latex]\displaystyle\sum\limits_{pgcd(p,q)=1} \frac{1}{p^2q^2}=\frac{5}{2}[/latex]

Moi je trouve ça fou

Tu es le seul à t'émerveiller devant un tas de signes échafaudés tout droit sortis du système stellaire de l'étoile du centaure (ce sigma que je vois souvent dans vos réponses O_O).

Je ne comprends pas comment la somme d'une infinité de nombres peut donner un nombre bien défini.

Et la somme de tous les entiers naturels ca fait quoi ? ET PAF : 8946532 ? (je crois que j'ai pigé le sigma :p)

Tu vas obtenir involontairement la prochaine médaille Fields. Je suppose que la démonstration tient dans la marge de ton petit cahier de brouillon.

Merci Engine, mais je pense pas que c'est avec ça que j'aurais la medaille Fields ^^. Et la démo ne tient pas dans la marge de mon cahier de brouillon, les 3 dernières lignes dépassent ^^.

Bon plus sérieusement:
Pour comprendre vous avez juste besoin de connaitre un peu les séries:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{p=1}^n \frac{1}{p^2}*\sum\limits_{q=1}^n \frac{1}{q^2}

(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{p=1}^n \sum\limits_{q=1}^n \frac{1}{q^2p^2}

(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{p,q\in [\![1,n]\!] ^2}^n \frac{1}{q^2p^2}[/TeX]
En séparant astucieusement:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^n (\sum\limits_{pgcd(p,q)=d} \frac{1}{p^2 q^2})
[/TeX]
En gardant toujours [latex]p, q \in [\![1,n]\!] [/latex] (je dis ça parce que je n'arrive pas à écrire deux choses sous la somme.)

En effet, deux nombre compris entre 1 et n'ont pas un pgcd supérieur à n.

ensuite on fait le changement d'indice p'=p/d et q'=q/d:
[TeX](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=(\sum\limits_{d=1}^n \frac{1}{d^4}) (\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2})
[/TeX]
avec encore et toujours [latex]p\prime, q\prime \in [\![1,n]\!] [/latex].

d'où:
[TeX]\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\sum\limits_{k=1}^\n \frac{1}{k^2})^2}{\sum\limits_{d=1}^\n \frac{1}{d^4}}[/TeX]
Et donc, en passant à la limite sur n:
[TeX]\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2}{\sum\limits_{d=1}^\infty \frac{1}{d^4}}[/TeX]
avec [latex]p\prime, q\prime \in N [/latex]

Or les somme de Riemann se calculent:
[TeX]\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}
[/TeX]
et
[TeX]\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}
[/TeX]
Donc finalement:
[TeX]\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\frac{\pi^2}{6})^2}{\frac{\pi^4}{90}}=\frac{5}{2} [/TeX]

Au passage, tu connais un tutoriel pour le code latex ?

Je connais une page qui résume quelques symboles mathématiques:
http://w2.syronex.com/jmr/tex/latex-symbols.

Mais sinon j'en ai pas de particulier; quand je cherche une commande, je demande à Google.

Plusieurs réponses en vrac :

@ tout le monde : je pense que la démonstration de supercab comporte une erreur, qui se corrige facilement, sans changer la validité du résultat ; débat à suivre ;

@engine :

- la page Wikipedia m'aide pas mal : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

- si tu sommes des choses qui sont "de plus en plus petites" (qui tendent vers zéro), il est possible que tu obtiennes quelque chose de fini... c'est la fameuse histoire d'Hercule et la tortue : on fait une somme infinie de distances (100 m + 10 m + 1 m + 0,1 m + ...), mais au 112e mètre, la tortue s'est faite dépasser. Rien à voir avec ta somme des entiers, qui elle, pour le compte, ne donne que dalle, ce qui semble logique.

[TeX]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}[/latex] te donne [latex]\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2}[/latex].

Au carré : [latex]\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \right)^2 = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \right) \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \right)[/TeX]
Si tu développes, ça te donnera [latex]\sum_{p=1}^n \sum_{q=1}^n \frac{1}{p^2} \frac{1}{q^2}[/latex] (on choisit de nommer nos variables p et q, mais ce sont des variables "muettes", tu peux leur donner d'autres noms si tu veux... Le principe, c'est juste que tu développes un produit de deux sommes, ce qui te donne la somme de tous les produits que tu peux former en prenant un élément dans la première somme et un élément dans la deuxième.

Cette somme qu'on obtient, on peut la séparer comme on veut. Et vu qu'on veut arriver à des [latex]pgcd[/latex], on choisit de séparer toutes les paires [latex](p,q)[/latex] possibles (pour n'importe quel p entre 1 et n et n'importe quel q de 1 à n) selon le [latex]pgcd[/latex] de p et q. C'est un simple choix. On sait que deux nombres inférieurs ou égaux à n auront un [latex]pgcd[/latex] inférieur ou égal à n, donc on peut séparer la grande somme en "somme pour les paires de pgcd 1 + somme pour les paires de pgcd 2 + ... + somme pour les paires de pgcd n" (en fait, le "s" à la fin du dernier "sommes" ne sert à rien, mais on s'en fout ).

J'espère que tu as compris mon explication

C'est l'étape d'après qui me gêne, je dois en rediscuter avec supercab

Ce genre de suite converge très vite en général

Pas persuadé sur ce coup-là, à cause de la quantité énorme de paires de nombres (p,q) (même "ordre de grandeur" que le cardinal de N x N) telles que pgcd(p,q)=1 et des carrés au dénominateur.
Si un Scarta fou veut essayer...

MthS-MlndN a écrit:

Plusieurs réponses en vrac :

@ tout le monde : je pense que la démonstration de supercab comporte une erreur, qui se corrige facilement, sans changer la validité du résultat ; débat à suivre ;

@engine :

- la page Wikipedia m'aide pas mal : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

- si tu sommes des choses qui sont "de plus en plus petites" (qui tendent vers zéro), il est possible que tu obtiennes quelque chose de fini... c'est la fameuse histoire d'Hercule et la tortue : on fait une somme infinie de distances (100 m + 10 m + 1 m + 0,1 m + ...), mais au 112e mètre, la tortue s'est faite dépasser. Rien à voir avec ta somme des entiers, qui elle, pour le compte, ne donne que dalle, ce qui semble logique.

Je connais effectivement ce problème. Alors déjà on fait gaffe à la réalité quand on fait ça, ce n'est pas des maths totalement pures ouf
Et dans l'infiniment grand ?Parce que dans l'infini petit OK, mais dans l'infiniment grand, on s'arrête quand ?

Sinon, on pourrait écrire des choses comme:

S=1+2+4+8+16+32+64+...

1+2+4+8+16+32+64+...=1+2(1+2+4+8+16+32+...)

Donc S=1+2S
Donc S=-1

1+2+4+8+16+32+64+...=-1

Ceci étant dit, il y a des problèmes sans qu'on ait besoin de l'infiniment grand:
S=1-1+1-1+1-1+1-1+....
S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+....=1+0+0+0+...=1
Mais S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+0+...=0
Lorsqu'il y a une infinité de nombres, l'addition n'est plus associative sans une condition supplémentaire...

ouf ! tant qu'on est dans l'ensemble N on peut tout essayer. Mais perso je n'arrive pas à valider (et vérifier) tant d'égalités et d'équivalences comme ça, en changeant (trop abruptement) les variables...

application possible ? Précisions sur les intervalles ? j'ai du mal avec les changements de variables (ben oui) et les écritures avec les exponentielles, là.

@Yanneck: la série n'est pas à termes positifs si tu parles de celle pour laquelle je parle d'associativité +1 -1 ... La condition supplémentaire pour que l'associativité existe est justement la convergence de la série, que nous n'avons pas ici (2 valeurs d'adhérence: les sous-suites de rangs pairs et impairs par exemple).

Les 2 exemples ont toutefois le même but: montrer que les opérations usuelles et les règles habituelles de manipulation ne sont valides que pour un nombre fini de termes. Lorsque le nombre de termes devient infini, des conditions supplémentaires pour pouvoir continuer à les appliquer sont nécessaires (convergence simple ou absolue suivant les cas) ce qui est la source d'un très grand nombre de paradoxes.