@racine :

Tu as raison : la solution "racine carrée" que j'avais proposée n'est pas le bon truc. La preuve, si on passe demain aux nouveaux euras, qui valent bien sur 100 anciens euras, cela conduit à 100 Neuras (+ 1 ou 2 au choix) ce qui n'est pas la même chose que 1000 Aeuras.

Si tu entends par "maximiser les gains" "maximiser les pertes de l'organisateur du jeu", alors la réponse est 1 et cela revient à un simple tirage au sort. (Si les participants s'entendent bien, ils pourront peut-être se partager les gains.)

Mais comme je ne suis pas sûr des autres participants, je répondrai 2.

Le premier joueur se dit qu'en l'absence de réponse d'autre joueur (par exemple si le site plante), il maximisera son gain en jouant le nombre 1.
Le deuxième joueur sait que le premier joueur à joué 1, (car chaque joueur sait que tous les joueurs jouent aussi rationnellement que lui, c'est une grosse hypothèse supplémentaire, les axiomes à la Nash ?) donc il va jouer 2.
Etc.

Chacun joue 1 et attend le tirage au sort.

Sinon la seule façon d'être sur de gagner c'est de jouer 1000000, ce qui ne maximise pas vraiment l'espérance de gain.

Ben s'il y a 1000 joueurs, ils vont de toute façon miser au minimum 1000. Non ?

PS ce sont des euras

Je tente une réponse qualitative (par opposition à quantitative).
La première approche est de jouer le plus petit nombre possible (0,01€) en espérant que les autres feront pareil pour que la somme totale soit la plus petite possible et le diviseur du total aussi (à noter que s'il y a moins de 100 participants ils vont gagner plus que 1M€).
Cependant en faisant ça, tout le monde est ex-aequo et on procède au tirage au sort ce qui donne 1/N chance de gagner 100M€/N. Donc une espérance de gain de 100M€/N^2.

La encore la difficulté est de rompre la symétrie.
Certain joueurs vont se dire que jouer légèrement plus que le minimum leur permettra de gagner seul (à coup sur, p=1) mais tout en diminuant le gain.
Si un joueur joue X euras et qu'il gagne, il gagne 1M€/((N-1)x0,01+X)=100M€/(N-1+100X) qui est aussi l'espérance de gain puisque la probabilité de gagner est 1. Cela donne une limite de X en fonction de N: en effet si N-1+100X>N^2, cela ne vaut pas le coup par rapport au cas précédent.

Si tout le monde fait le même raisonnement, il vont tous augmenter la somme, tous pareil et tous constater que leur espérance e gain baisse puisqu'ils prennent en compte que tous les autres font pareil et ils vont donc tous redescendre à 0,01€.

Il faut donc supposer qu'il ne vont pas tous faire exactement le même raisonnement. Il faut donc qu'ils estiment la forme de la courbe des mises (entre 0,01 et (N^2-N+1)/100 s'ils connaissent N ou ...). Et qu'ensuite il estime leur espérance de gain par rapport à cette courbe sachant qu'il ne peuvent gagner que s'ils misent plus que les autres, donc l'extrémité de la courbe au dela de la proabilité qu'un joueur joue cette somme.

En bref, encore un problème "virtuel" à mon goût. IL faut supposer qu'ils ont tous le même raisonnement et "casser" la symétrie mais dans ce cas, ils n'ont pas le même raisonnement...

Avant de donner mes éléments de réponse (car je n'ai pas la réponse à celui-là, je croyais l'avoir mais c'est plus compliqué que prévu ), deux mots sur l'intérêt de ce genre de problème, pas si virtuel que ça.

Par exemple, les ordinateurs boursiers sont sensiblement programmés de la même façon et il est intéressant d'étudier leur comportement non pas isolément mais dans des cas de figure où ils devraient tenir compte de celui de leurs collègues, car parfois ça mène à la catastrophe ... Il est intéressant de voir dans quelle mesure des comportements positifs pour l'ensemble peuvent émerger de comportements individuels.

Bon, je poste le résultat de mes propre réflexions sur la question. Looping a fait déjà un bon boulot, mais on est en désaccord sur la formule qui donne l'espérance de gain...

Le k^2 vient du fait qu'il y a une probabilité de 1/k de gagner le tirage au sort, puis on divise le jackpot par les k participants.
Je vais revérifier, mais il doit effectivement manquer des $C_n^k$pour le choix des k participants...

Presque tous ceux qui ont répondu ont commis l'erreur de ne pas considérer l'option "je ne joue pas afin que le gagnant gagne plus".
"Mais si je ne joue pas, je ne peux pas gagner" diront-ils!
Certes, et si on tirait au sort le fait de jouer ou pas ?
L'erreur est de vouloir gagner à tout prix, il faut chercher à maximiser le gros lot en prenant toutefois sa chance de participer ou pas.
Vouloir gagner à tout prix mène à proposer des nombres grands sans augmenter les chances de gain puisque les autres font pareil.
Ça me fait penser à ceux qui s'engagent dans un carrefour sous prétexte qu'ils ont le feu vert ; ils savent très bien qu'ils vont rester coincés au milieu du carrefour ; résultat, ils gagnent quelques secondes et font perdre des minutes à des dizaines de gens... le bilan collectif est très mauvais.

Bref, soyons purement rationnel un instant en pensant collectif ET équitable

Soit je ne joue pas, soit je joue ET en ce cas je joue "1", toute autre réponse fait baisser le gros lot. Mais pour avoir ma chance (tout comme les autres), je joue avec une probabilité de p et je m'abstiens avec 1-p.

Première option : déterminer p au pif, d'après le problème des prisonniers de l'ordre de 1/nombre de joueurs estimé, de toute façon, le nombre de participants est mal connu. Avec 20 participants, je prendrai p=0,1 par exemple, même si ça n'est pas optimal, c'est mieux, bien mieux que de tous jouer.

Deuxième option déterminer p par calcul, mais j'avoue que c'est trop compliqué pour moi, même si je détaille ci-dessous ma tentative... jusqu'à mon seuil d'incompétence en maths

Le nombre de participants est n et appelons S la variable aléatoire égale au nombre de 1 obtenus. M vaut ici 1000000 d'euras.

S suit une loi binomiale, à savoir $P(S=i)=\binom{n}{i}.p^i.(1-p)^{n-i}$

Mon gain moyen g est égal au gain collectif G (la somme finalement distribuée) divisé par le nombre de joueurs, et on calcule l'espérance mathématique de G :
$$0.P(S=0)[/latex] "personne n'a joué 1, gros lot =0" [latex]+ M.P(S=1)[/latex] "un seul a joué 1 et il gagne M" [latex]+M/2.P(S=2)[/latex] "deux ont joué 1 et l'un d'eux gagne M/2" [latex]+M/3.P(S=3)[/latex] "trois ont joué 1 et l'un d'eux gagne M/3" [latex]\ldots$$
$$+M/n.P(S=n)[/latex] "tout le monde a joué 1 et l'un d'eux gagne M/n" Soit [latex]E(g) = \frac{M}{n}.\sum_{i=1}^{n} \frac{P(S=i)}{i} = \frac{M}{n}.\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}.\binom{n}{i}.p^i.(1-p)^{n-i}[/latex]... trop compliqué à gérer pour moi dans le cas général, il faut maintenant estimer le nombre de participant... Peut être que si on suppose qu'on est dans une vraie loterie et qu'il y a beaucoup de participants, la binomiale tend vers une loi de poisson de paramètre [latex]E(S)=np[/latex]... à savoir [latex]P(S=i)\sim e^{-np}. (np)^i/i![/latex]  ça simplifierait les choses ? ça donnerait [latex]E(g)\sim M/n.e^{-np}. \sum_{i=1}^{n} (np)^i/(i.i!)$$
on dérive, pour rigoler:
$$d/dp.E(g) = M/n.\left(-n.e^{-np}. \sum_{i=1}^{n} (np)^i/(i.i!)+e^{-np}. \sum_{i=1}^{n} i.n^i.p^{i-1}/(i.i!)\right)$$
et donc $d/dp.E(g) = -M.\sum_{i=1}^{n} e^{-np}.(np)^i/(i.i!)+M.e^{-np}/n .\sum_{i=1}^{n} (n.p)^i/i!$
si n est "grand", on peut assimiler le terme $\sum_{i=1}^{n} (n.p)^i/i!$ à $e^{n.p}-1$
et on remarque que le premier terme est égal à $-n.E(g)$

d'où : $d/dp.E(g) = -nE(g)+M/(np).(e^{-np}-1)$

J'ai demandé à mon pote Wolfram Alpha, il m'a dit :
$$E(g) = c e^{-np}+M. e^{-np}.(\log(p)-Ei(np))/n[/latex] qui diverge pour [latex]p=0[/latex] ! Pour déterminer [latex]c[/latex], utilisons le fait que quand [latex]p[/latex] vaut 1, (cas où tout le monde joue) vaut [latex]E(g)=M/n^2[/latex] ... à partir de là je perds complètement le contrôle, j'avoue, je trouve des trucs aberrants ... [latex]\LARGE HELP !$$

@ Looping : je donnerai mes sources quand on m'aura dit où je merde dans mon calcul ha ha ha ha ha
mais là où je l'ai trouvé il n'était pas analysé en détail... j'aurais dû me méfier

Marrant : j'ai la page Wikipedia sur Douglas Hofstadter qui est ouverte depuis quasiment un mois dans mon navigateur, histoire que je la voie tous les jours, et que tous les jours je me dise "Il faut que je lise tous ses bouquins"

Douglas est un excellent vulgarisateur de la récursion, de la logique formelle, de l'intelligence artificielle, et même du théorème de Gödel. Marrant, je ne sais pas, mais son dialogue "dieu est-il taoïste" est fantastique...

Le problème que j'ai c'est que si on joue, on joue, on ne passe pas son tour pour que les autres gagnent plus, surtout si le but c'est d'avoir le raisonnement le plus RATIONNEL possible.
L'énoncé tel qu'il est posé (j'ai bien vu l'indice qui disait qu'on pouvait passer son tour) implique que l'on joue.
Et comme toutes les énigmes de ce genre, la symétrie entre des joueurs parfaits fait qu'il n'y a pas de solution réelle. La réalité brise cette symétrie car les actions dans la vie réelle n'ont rien de parfait. Elles sont parfois difficile à modéliser quand ce n'est pas tout simplement impossible car la réalité est chaotique (ou stochastique) et au mieux, on batit des modèles heuristiques basés sur l'histoire et on vérifie que ces modèles rejouent bien l'histoire puis quelques jours (semaines après) un élément initial différent (même légèrement) met le modèle à mal (tiré de situations réelles récentes malheureusement)...

Que justifie le choix de telle ou telle distribution de réactions face à tel ou tel problème, surtout lorsque celle-ci découle de la psychologie humaine?

Bon, toutes les mouches sont mortes ici, je suis contraint d'arrêter