Encore une application fonctionnelle, pas simple non plus :

Soit f une fonction de  [latex]R_+[/latex] dans lui-même, qui vérifie les 3 conditions suivantes :

(1) Pour tous réels positifs x et y : f(y.f(x)).f(x)=f(x+y)
(2) f(2)=0
(3) Pour tout réel x de [0;2[, f(x) non nul

Déterminer f (existence et unicité d'une telle fonction)

Je donnerai des indices au fur et à mesure pour la marche à suivre.

Indication 1 : Spoiler : [Afficher le message] Déterminer f sur [latex][2;+\infty[[/latex]

Indication 2 : Spoiler : [Afficher le message] Comparer f(x) et [latex]\frac2{2-x}[/latex], en prenant y=2-x pour x < 2

Indication 3 : Spoiler : [Afficher le message] Comparer f(x) et [latex]\frac2{2-x}[/latex], en prenant [latex]y=\frac2{f(x)}[/latex] pour x < 2. Et conclure !