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	Forum » Enigmes Mathématiques » Les 4 taupes Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=L00ping007]J'ai trouvé l'astuce :) Ce que l'on cherche n'est pas la distance parcourue par les taupes, qui est bien au minimum [latex]\sqrt6[/latex], mais la longueur creusée ! La réponse est : [latex]\sqrt3+\frac{\sqrt2}2[/latex] EDIT Donc, un peu de temps pour écrire ma démo. Par contre j'ai pas encore vraiment réfléchi au problème de montrer qu'il était impossible de faire moins, mais je m'y penche :) L'idée c'est de faire se rejoindre les taupes 2 à 2 avant le centre, histoire qu'à 2 elles empruntent la même galerie. Non seulement elles font pas la fin du trajet toutes seules, mais en plus au final elles creuseront moins ... à condition de trouver la bonne configuration ! Après quelques tâtonnements : - A et B se rejoignent au milieu de [AB], puis ensemble vont au centre. Et idem pour C et D. Mais la longueur des galeries est encore trop longue. - A,B et C se rejoignent au centre de gravité du triangle ABC, et rejoignent D au centre : idem trop long. En notant O le centre du tétraèdre, l'idée est de faire se déplacer A et B dans le plan (OAB). Pour des raisons de symétrie, le mieux est qu'ils se rejoignent sur la médiatrice de (AB) qui passe par O. Ce sera la même chose pour C et D, avec les mêmes distances, donc je ne traite que le cas A et B. J'ai utilisé un repère de centre A, (AB) axes des x, et axe des y dans le plan (ABC) (D est ainsi le sommet du tétraèdre) Les coordonnées des points A,B,C,O et I (milieu de AB) sont donc : [latex]A(0,0,0) B(1,0,0) C(\frac12,\frac{\sqrt3}2,0) I(\frac12,0,0) O(\frac12,\frac1{2\sqrt3},\frac1{2\sqrt6})[/latex] (calculs assez faciles à faire en remarquant que D est à la verticale du centre de gravité de ABC) Je peux ainsi caculer la distance OI : [latex]OI=\sqrt{\frac1{12}+\frac1{24}} OI=\frac1{2\sqrt2}[/latex] Il ne reste plus qu'à trouver un point M, sur (OI), tel que la distance : AM + BM + MO soit minimale. Comme AM=BM, on veut que d=2AM+MO soit minimale. Je me place maintenant dans le triangle ABO, et je note x la distance IM Avec un peu de Pythagore : [latex]d(x)=2\sqrt{\frac14+x^2}+\frac1{2\sqrt2}-x d(x)=\sqrt{4x^2+1}+\frac1{2\sqrt2}-x[/latex] On dérive par rapport à x : [latex]d'(x)=\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}-1[/latex] Cette dérivée s'annule pour : [latex]x_0=\frac1{2\sqrt3}[/latex] (on doit pouvoir montrer proprement que c'est bien un minimum) [latex]d(x_0)=\frac2{\sqrt3}+\frac1{2\sqrt2}-\frac1{2\sqrt3} d(x_0)=\frac{\sqrt3}2+\frac1{2\sqrt2}[/latex] On fait la même chose pour C et D, et on trouve la même valeur. Donc on double la distance qu'on vient de trouver pour avoir la longueur totale des galeries : [latex]L=\sqrt3+\frac1{\sqrt2}[/latex] Y a besoin de montrer que cette longueur est la plus petite qu'on puisse trouver ?[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 40 moutons, ils meurent tous sauf 18, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion halloduda 19-02-2011 12:53:31 4 taupes vivent aux sommets d'un tétraèdre régulier dont les arêtes ont pour longueur 1. Elles voudraient pouvoir toutes se rencontrer, elles décident donc de creuser des galeries. Mais bien sûr, afin d'économiser leur effort, elles veulent creuser la plus petite longueur possible. Quelle est cette plus petite longueur ? (Donner la formule exacte). Spoiler : [Afficher le message] Spoiler : [Afficher le message] Spoiler : [Afficher le message] arbre de Steiner Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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