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	Forum » Enigmes Mathématiques » Les 4 taupes Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=gasole]Après avoir réfléchi un peu, j'ai entrepris des recherches... Je vais tâcher d'utiliser le moins de formules possibles. Pour un triangle équilatéral (=donnée de 3 points), si l'on conserve 2 arêtes du triangle, la distance sera de 2. La solution optimale est connue, il faut ajouter un point (au centre du triangle) qui rejoint chacun des sommets pour une distance totale de 3^(1/2). [url]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Steiner_3_points.svg/220px-Steiner_3_points.svg.png[/url] Ce point qu'on ajoute s'appelle un point de Steiner, c'est un point de jonction autre qu'un des points donnés initialement. Pour le carré, la solution optimale consiste à ajouter 2 points de Steiner. [url]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Steiner_4_points.svg/220px-Steiner_4_points.svg.png[/url] En dimension 2, un point de Steiner PS est toujours relié à exactement 3 autres points A1,A2,A3, et les angles (Ai,PS,Aj) sont tous égaux à [latex]\frac{2\pi}{3}=120^{\circ}[/latex] (sinon on peut faire mieux). En dimension 3, je n'ai pas trouvé grand chose... Il s'agit ici de déterminer un arbre de Steiner pour un tétraèdre régulier (cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Arbre_de_Steiner ). On appelle degré d'un sommet le nombre de sommets auxquels il est relié. Un PS a un degré au moins égal à 3 (sinon il est inutile). Le problème est de déterminer le nombre de points de Steiner noté [latex]p[/latex] qu'il faut ajouter... Il en faut au moins un dans la mesure où, tracer directement les galeries entre sommets, et donc passer uniquement par les arêtes du tétraèdre, donne une distance totale de 3 pour relier tous les sommets, alors qu'ajouter le point de Steiner pour la base du tétraèdre puis relier ce point au sommet est moins couteux. [u]Cas p=1[/u] La première idée (très symétrique) est d'ajouter un PS au milieu du tétraèdre, et en effet, avec un seul PS c'est le mieux qu'on puisse faire. Pas besoin de calculs, on s'en sort avec une "démonstration" mécanique :). Soit M ce PS (voir figure), fixons les distances DM et AM (imaginons que les segments DM et AM soient des barres de fer librement articulées en D, en M et en A), les positions possibles du point M sont représentées par l'ellipse du diagramme. [url]http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-point-de-steiner-tetraedre.JPG[/url] Le long de cette ellipse, AM+DM est fixe, et seuls varient CM et BM. Il est évident que CM+BM est minimal quand CM=BM (Pour s'en convaincre, imaginons une corde fixée en A, passant dans un anneau en M, et on tire dessus depuis B pour la raccourcir, M se fixera naturellement au point de l'ellipse à égale distance de C et B). On a aussi CF=BF, mais c'est clairement moins bon. On peut réitérer le processus sur tous les couples de sommets, et on en conclut donc que M est à égale distance des 4 points, soit au milieu du tétraèdre, à distance [latex]\sqrt{\frac{3}{8}}[/latex] de chaque sommet pour un total de [latex]\sqrt{6}\sim 2.4495[/latex]. [u]Cas p=2[/u] Voyons ce qu'on peut faire avec 2 PS M1 et M2. On a nécessairement deux sommets initiaux (disons A et B) reliés à M1, et les deux autres à M2. [url]http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-point-de-steiner-tetraedre2.JPG[/url] Pour les mêmes raisons que dans le cas p=1, M1 doit être à égale distance de A et de B, et M2 de C et de D. On peut imaginer que l'angle (A,M,D) est articulé en M1, et (B,M2,C) en M2, la distance totale ne change pas lorsque les angles tournent autour des PS. Faisons les tourner jusqu'à ce que A,B,M1,C,D,M2 soient coplanaires. En ce cas, on sait que les angles autour de M1 et de M2 sont de [latex]\frac{2\pi}{3}[/latex], on en tire la distance entre chacun des sommets et le PS auquel il est relié : [latex]\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]. Reste à calculer la distance séparant M1 de M2. Soient X le milieu de AB et Y le milieu de CD, X,M1,M2 et Y sont alignés pour les raisons mécaniques évoquées plus haut. Or on a [latex]d(X,M1)=d(Y,M2)=\sqrt{d(A,M1)^2-d(A,X)^2}=\sqrt{1/3-1/4}=\frac{1}{\sqrt{12}}[/latex]. Il suffit de calculer d(X,Y) en appliquant Pythagore on trouve : [latex]d(X,Y)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]. D'où un total de [latex]4.d(A,M1) + (d(X,Y)-2d(X,M1)) = \sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sim 2.439[/latex] ce qui est effectivement mieux qu'avec un seul PS. Reste à examiner p>2.... aïe aïe aïe Supposons qu'on ait M1, M2, M3,...,Mk, et disons que M1 est relié à A et B (entre autres) et M2 à C et D (c'est un minimum nécessaire), alors M3,...,Mk sont superflus, le moins couteux consistant à relier directement M1 et M2. CQFD. Ouf ![/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 40 moutons, ils meurent tous sauf 18, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion halloduda 19-02-2011 12:53:31 4 taupes vivent aux sommets d'un tétraèdre régulier dont les arêtes ont pour longueur 1. Elles voudraient pouvoir toutes se rencontrer, elles décident donc de creuser des galeries. Mais bien sûr, afin d'économiser leur effort, elles veulent creuser la plus petite longueur possible. Quelle est cette plus petite longueur ? (Donner la formule exacte). Spoiler : [Afficher le message] Spoiler : [Afficher le message] Spoiler : [Afficher le message] arbre de Steiner Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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