Écrire une réponse @ Prise2Tete

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

	Forum » Enigmes Logiques » Jeux à deux 1bis Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=gasole]Bon, ok, avec 1 ça le fait. Proposition : soit [latex]n[/latex] le nombre reçu, [u][latex]n[/latex] est perdant ssi [latex]n = 0 (4)[/latex][/u] ([latex]n[/latex] vaut [latex]0[/latex] modulo [latex]4[/latex]). Preuve (par récurrence) : Appelons "pseudo-diviseur premier" (pdp en abrégé) de [latex]n[/latex], un diviseur premier de [latex]n[/latex] ou [latex]1[/latex]. La propriété se vérifie facilement pour [latex]n=0,1,2,3[/latex]. ------------------------------------ De gauche à droite : si [latex]n = 0 (4)[/latex], soit [latex]p[/latex] un pdp de [latex]n[/latex], bien sûr [latex]p\neq 4[/latex]. On a donc [latex](n-p) \neq 0(4)[/latex]. Par HR, [latex](n-p)[/latex] est gagnant et donc [latex]n[/latex] perdant. ------------------------------------ De droite à gauche : si [latex]n \neq 0(4)[/latex] : ------------------ a) [latex]n = 1(4)[/latex], il suffit de soustraire [latex]1[/latex] pour laisser [latex](n-1)[/latex] qui est égal à [latex]0[/latex] modulo [latex]4[/latex], donc perdant par HR. Donc [latex]n = 1(4)[/latex] est gagnant. ------------------ b) [latex]n = 2(4)[/latex], donc [latex]n[/latex] est pair et il suffit de soustraire [latex]2[/latex] pour laisser [latex](n-2)[/latex] qui est égal à [latex]0[/latex] modulo [latex]4[/latex], donc perdant par HR. Donc [latex]n = 2(4)[/latex] est gagnant. ------------------ c) [latex]n = 3(4)[/latex]. Soient [latex]p_1,..,p_m[/latex] les diviseurs premiers de [latex]n[/latex] (les vrais, pas les pdp), i.e. [latex]n = p_1^{k_1}\times ...\times p_m^{k_m}[/latex]. Comme [latex]n[/latex] est impair, tous les [latex]p_i[/latex] sont impairs aussi, donc [latex]\forall i : p_i = 1(4) \vee p_i = 3(4)[/latex]. Si [latex]\forall i : p_i = 1(4)[/latex], alors (arithmétique modulaire) [latex]n = 1(4)[/latex]: contradiction. Donc pour au moins un des [latex]p_i[/latex] on a [latex]p_i= 3(4)[/latex]. Il suffit donc de soustraire ce [latex]p_i[/latex] pour laisser [latex](n-p_i)[/latex] qui vaut [latex]0[/latex] modulo [latex]4[/latex], donc perdant par HR. Donc [latex]n = 3(4)[/latex] est gagnant.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 10 moutons, ils meurent tous sauf 9, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion franck9525 13-03-2011 09:55:15 Vous vous êtes probablement penché sur l'énigme Jeux à deux de Vasimolo (ici). Je vous propose exactement la même énigme, à deux mots près. On tire un entier strictement positif N0 au hasard . Le premier joueur choisit alors un diviseur *premier () de N0 qu'il retranche à N0 pour obtenir un entier ~~strictement~~ positif N1 . Le deuxième joueur choisit un diviseur premier de N1 qu'il retranche à N1 pour obtenir un entier ~~strictement~~ positif N2 ... Celui qui ne peut plus jouer a perdu . Quelles sont les chances du second joueur () d'emporter la partie ? () Bien que 1 ne soit pas premier, 1 peut aussi être choisi. (*) nommons le premier joueur A et le second B Exemple : Joueur A reçoit N0=2, il retranche 2 Joueur B reçoit N1=0, il a perdu Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact