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	Forum » Enigmes Mathématiques » Puissance sixième d'un nombre entier Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=L00ping007]J'appelle n le nombre que l'on cherche. On va d'abord encadrer ce nombre n. Un nombre à 9 chiffres est inférieur à [latex]10^9[/latex] et supérieur à [latex]10^8[/latex], donc [latex]10^8 < n^6 < 10^9[/latex] et ainsi [latex]\sqrt[3]{10000}=10^{\frac43} < n < 10^{\frac32}=\sqrt{1000}[/latex] [latex]30^2=900[/latex] (facile à calculer de tête) [latex]31^2=961[/latex] (j'ajoute 30 et 31 à [latex]30^2[/latex]) et donc [latex]32^2[/latex] dépassera 1000 On sait donc que [latex]n < 32[/latex] Je n'ai aucune difficulté à montrer que [latex]n > 20[/latex] ([latex]20^6 < 10^8[/latex]). Je veux aussi montrer que [latex]n < 21[/latex]. Pour ça, je montre que [latex]21^3 < 9990[/latex] qui est équivalent à [latex]7^3.3^2 < 3330[/latex] équivalent à [latex]7^3.3 < 1110[/latex] équivalent à [latex]7^3 < 370[/latex] On calcule facilement [latex]7^3=343[/latex] donc on sait que [latex]21^3 < 9990 < 10000,[/latex] et ainsi [latex]n > 21[/latex] J'ai alors [b]21 < n < 32[/b] On sait également que [b]n n'est pas un multiple de 5[/b]. => si n était un multiple de 10, on aurait 6 zéros dans l'écriture de [latex]n^6[/latex] => si n est un multiple de 5 impair, il se termine par 5, et donc sa puissance sixième aussi, or il n'y a pas de 5 dans l'écriture proposée. Je peux éliminer 25 et 30 On montre aussi que [b]n est multiple de 3[/b]. En effet la somme des chiffres de [latex]n^6[/latex] vaut 45, divisible par 3. Donc n est nécessairement divisible par 3. Il ne nous reste donc plus que 2 possibilités pour n : 24 ou 27. Or le chiffre des unités de [latex]24^6[/latex] est 6. En effet, celui des unités de [latex]24^2[/latex] est 6, et un nombre se terminant par 6 a ses puissances successives qui se termine par 6. Comme il n'y a pas de 6 dans l'écriture de [latex]n^6[/latex], on sait que n ne vaut pas 24. Et nécessairement [latex]\fbox{n=27}[/latex] On peut vérifier après coup que [latex]27^6=387 420 489[/latex], ce qui colle avec l'énoncé. Ouf ! [i]Je ne suis pas très fier de ma démo de [latex]n < 21[/latex], si y a plus simple, je veux bien qu'on me dise, je réfléchirai à autre chose ! [/i][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Tim, Tam et ? Retour Résumé de la discussion franck9525 01-04-2011 13:00:10 Lors de la demi-finale du championnat de jeux mathématiques 2010, la question ci-après était posée. Sauriez-vous déterminer une méthode permettant de trouver le résultat sans utiliser ni calculatrice ni même papier crayon, bref de tête uniquement ! La puissance sixième d'un nombre entier est un nombre à 9 chiffres. En rangeant ces 9 chiffres dans l'ordre décroissant, on obtient le nombre 988 744 320. Quel était le nombre entier initial ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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