Enigme Puissance sixième d'un nombre entier @ Prise2Tete

franck9525 · #1

Lors de la demi-finale du championnat de jeux mathématiques 2010, la question ci-après était posée. Sauriez-vous déterminer une méthode permettant de trouver le résultat sans utiliser ni calculatrice ni même papier crayon, bref de tête uniquement !

La puissance sixième d'un nombre entier est un nombre à 9 chiffres. En rangeant ces 9 chiffres dans l'ordre décroissant, on obtient le nombre 988 744 320.
Quel était le nombre entier initial ?

racine · #2

De tête, je trouve 3 candidats: 22, 27 et 32.
D'abord par possibilité sur le chiffre des unités, seuls 2 et 7 donnent une unité présente dans le nombre, ensuite par ordre de grandeur du résultat. Après, je ne vois pas comment conclure.

Clydevil · #3

Salut, alors
D'abord un encadrement avec deux nombres finissant par 0.
On voit qu'on doit
-dépasser au moins 200 000 000
-faire moins que 1 000 000 000.

De tete assez facilement:
-30^6 dépasse 200 000 000.
-40^6 dépasse 1 000 000 000.
Donc ce qu'on cherche est strictement entre 20 et 40.

Critère de divisibilité par 9. (somme des chiffres divisible par neuf).
Il est positif pour les chiffres donnés ce qui laisse comme candidat:
27 et 36

Dernier chiffre:
Finissant par 6 les puissances finissent toutes par 6, il n'y a pas de 6 c'est donc l'autre.

27.

Nombrilist · #4

De tête, c'est proche de 30 qui vaut à la puissance 6ème 729 000 000. 33^6 contient 10 chiffres, donc c'est inférieur. 25^6 contient 9 chiffres mais finit par 5. Ce n'est pas 24^6 qui finit par 6. 23^6 commence par 1 ou contient 8 chiffres.
Ce n'est pas 31, puisque le résultat contiendrait 1. De même, ce n'est pas 29 ni 26.

ça pourrait donc être 32 ou 28 ou 27. Après, je vois pas comment terminer. 10-15 minutes pour arriver à ça. Truc de fou.

victosaurus · #5

Bonjour

9+8+8+7+4+4+3+2+0=45 ==> il s'agit d'un nombre divisible par 9.

20^6=64000000 n'a que 8 chiffres.
9 et 18 sont inférieurs à 20 et ne peuvent donc pas être la solution.

40^6=(4^6)(10^6)=4096000000 a 10 chiffres.
les multiples de 9 supérieurs à 40 sont donc exclus.

restent en course: 27 et 36

34^6 > (100/3)^6 = (10^12) / (3^6) et 3^6<1000 donc 34^6 a plus de 9 chiffres.
Cela élimine les solutions supérieures à 33

Il ne reste donc qu’une possibilité : 27

PS : La deuxième étape permet de cerner le problème mais n’est pas indispensable.

gasole · #6

Soit n le nombre cherché et N = n^6.

Il suffit de savoir que la racine cubique de 10 est inférieure à 2 et que la racine carrée de 1000 est supérieure à 31.

10^8 < N < 10^9,
donc 10^(8/6) < n < 10^(9/6),
donc n est encadré par 10.10^(1/3) et 1000^(1/2) qui valent à la louche 20 et 31.

de plus N (et donc n) est divisible par 3, il reste en lice 21,24,27 et 30

or 21 impossible car il n'y a pas de 1 dans N (21^6 finit par 1)
24 impossible car il n'y a pas de 6 (24^6 finit par 6)
30 impossible car N manque de zéros.

Reste 27.

dylasse · #7

N^6 est un multiple de 9 (somme des chiffres), donc 3 appartient à N.

3^6 = 81 * 81, qui se termine par un 1, or 1 est absent de N^6, donc N<>3 (de toute façon, 3^6 est inférieur à un nombre de 9 chiffre).

2^6 = 4 * 16, qui se termine par un 6, or 6 absent de N^6, donc N<>3*2
4^6 = 16 16 * 16, qui se termine par un 6, donc n<>3*4.
5^6 = 25 * 25 * 25, qui se termine par 5, or 5 absent de N^6, donc N<>3*5
6^6 se termine par 6, donc N<>3 * 6
7^7 se termine par 9 : donc N = 3*7 est un candidat.

8^6 se termine par 6, 9^9 se termine par 1, 10^6 conserverait un 1 après les 6 zéros, 11^6 se termine par 1, 12^6 se termine par 6, 13^6 se termine par 1.

Comme 4>rac(10), alors 40^6>1.000.000.000>N^6, donc N<40, donc N/3<13,33.

Seul N=21 remplit donc les conditions requises.

L00ping007 · #8

J'appelle n le nombre que l'on cherche.
On va d'abord encadrer ce nombre n.

Un nombre à 9 chiffres est inférieur à [latex]10^9[/latex] et supérieur à [latex]10^8[/latex], donc [latex]10^8 < n^6 < 10^9[/latex]
et ainsi [latex]\sqrt[3]{10000}=10^{\frac43} < n < 10^{\frac32}=\sqrt{1000}[/latex]
[TeX]30^2=900[/latex] (facile à calculer de tête)
[latex]31^2=961[/latex] (j'ajoute 30 et 31 à [latex]30^2[/latex])
et donc [latex]32^2[/latex] dépassera 1000

On sait donc que [latex]n < 32[/TeX]
Je n'ai aucune difficulté à montrer que [latex]n > 20[/latex] ([latex]20^6 < 10^8[/latex]).
Je veux aussi montrer que [latex]n < 21[/latex].
Pour ça, je montre que [latex]21^3 < 9990[/latex]
qui est équivalent à [latex]7^3.3^2 < 3330[/latex]
équivalent à [latex]7^3.3 < 1110[/latex]
équivalent à [latex]7^3 < 370[/latex]
On calcule facilement [latex]7^3=343[/latex]
donc on sait que [latex]21^3 < 9990 < 10000,[/latex] et ainsi [latex]n > 21[/latex]
J'ai alors 21 < n < 32

On sait également que n n'est pas un multiple de 5.
=> si n était un multiple de 10, on aurait 6 zéros dans l'écriture de [latex]n^6[/latex]
=> si n est un multiple de 5 impair, il se termine par 5, et donc sa puissance sixième aussi, or il n'y a pas de 5 dans l'écriture proposée.
Je peux éliminer 25 et 30

On montre aussi que n est multiple de 3. En effet la somme des chiffres de [latex]n^6[/latex] vaut 45, divisible par 3. Donc n est nécessairement divisible par 3.

Il ne nous reste donc plus que 2 possibilités pour n : 24 ou 27.
Or le chiffre des unités de [latex]24^6[/latex] est 6. En effet, celui des unités de [latex]24^2[/latex] est 6, et un nombre se terminant par 6 a ses puissances successives qui se termine par 6. Comme il n'y a pas de 6 dans l'écriture de [latex]n^6[/latex], on sait que n ne vaut pas 24.

Et nécessairement [latex]\fbox{n=27}[/latex]

On peut vérifier après coup que [latex]27^6=387 420 489[/latex], ce qui colle avec l'énoncé. Ouf !

Je ne suis pas très fier de ma démo de [latex]n < 21[/latex], si y a plus simple, je veux bien qu'on me dise, je réfléchirai à autre chose !

irmo322 · #9

Je tente... 27!

Bamby2 · #10

dans un premier temps j'ai borné le chiffre, ça doit être plus que 20 (en gros)
mais mois que 30 (en gros)

j'ai donc cherché quel nombre était possible a l'intérieur de cet intervalle.
19-> termine par un 1
20-> termine par trop de 0
21 termine par un 1, impossible
etc etc
il me reste
22,23,27,28

j'ai alors chercher des critères de divisibilité, le plus simple est de chercher pour 27, c'est un multiple de 3, or la somme des chiffres me donne 45 !
c'est le seul multiple de 3 ... et la je réalise que c'est aussi un multiple de 9 et que j'aurai pu commencer par la !!!

c'est donc mon chiffre.
bien sympa l’énigme.

EDIT: évident quand on y pense si il nous donne les chiffres non ordonnés, c'est que l'ordre a pas d'importance !!

SHTF47 · #11

Facile, la réponse est cachée pendant 72 heures, si j'inverse les deux chiffres qui composent ce nombre, je trouve : 27 La réponse est donc 27!!!

Comme je n'ai ni droit à la calculatrice, ni au papier et crayon pour effectuer un calcul de vérification, je ne peux pas contrôler que 27^6 est bien un nombre de 9 chiffres, ces chiffres étant par ordre de valeur décroissante: 988744320. Ne pouvant prouver que j'ai tort, j'affirme que j'ai raison !!!

Plus sérieusement, j'ai retrouvé l'énoncé et la solution sur le net, par contre, je serais très curieux de savoir comment on trouve ce résultat uniquement de tête... Pour moi ce genre de calcul mental est réservé aux aliens.

piccolo64 · #12

Edit: Pour résumé voici les 3 astuces :

1) 20^6 contient 8 chiffres 40^6 contient 10 chiffres
donc 20<X<40

2) X^6 multiple de 9 (sommes des chiffres= 45)=>X multiple de 9
donc X= 27 ou X=36

3) il n'y a pas de 6 dans le nombre or 36^6 fini par 6
donc x=27

--------------------------------------------------------------------
Explication plus détaillé :

Tout d'abord calculons la somme des chiffres composant le nombre X^6

9+8+8+7+4+4+3+2+0 = 45 (45 multiple de 9), on peut en conclure que X^6 est un multiple de 9 et donc que X l'est aussi

ensuite de tête on peut aisément calculer

1^6=1
2^6=64
3^6=27²=(25+2)²=625 + 100 + 4=729
4^6=2^12 (pour les habitués du binaire 2^10=1024 donc 2^11=2048 donc on trouve facilement 2^12=2048x2=4096

on sait aussi que 10^6=1 000 000 (le nombre de 0 est égale à la puissance, ici 6)
ensuite utilisons la relation (ab)²=a²b²

on peut calculer facilement

10^6 = (1x10)^6 = 1^6x10^6 = 1x1 000 000 = 1 000 000 (7 chiffres)
20^6=(2x10)^6 = 2^6x10^6 = 64 x 1 000 000 = 64 000 000 (8 chiffres)
on remarque qu'il est alors simple de trouver la suite et le nombre de chiffres que le résultats contient. il suffit de compter le nombre de chiffre des puissances 6 de 1,2,3 et 4 et d'y ajouter les 6 zéros.
d'où
30^6=729 000 000 (9 chiffres)
40^6=4 096 000 000 (10 chiffres)

étant donné que le nombre X^6 contient 9 chiffres
on peut en conclure que 20<X<40
or X est multiple de 9, on obtient donc 2 possibilités
27 et 36.

évidemment il est impossible de vérifier par le calcul de tête lequel est le bon. Par contre il est judicieux de constater que le chiffre des unités de 36 est 6. celui ci à une particularité, car le chiffre des unités d'une puissance d'un nombre se terminant par 6 se termine aussi par 6. (ex: 6*6=36).

On peut donc en conclure que si X=36 alors X^6 devrait se terminer aussi par 6
Or les chiffres composant x^6 ne contiennent pas le chiffre 6

On peut donc finalement en déduire que X=27

Ouff !!! ^^

gabrielduflot · #13

27^6=387 420 489

halloduda · #14

Les nombres dont la puissance 6 s'écrit avec 9 chiffres sont compris entre 20 et 31.

La puissance 6 étant multiple de 9, on teste les seuls multiples de 3 entre 20 et 32.

21 pas de 1 pour le dernier chiffre
24 pas de 6 pour le dernier chiffre
30 il faudrait 6 "0"

reste 27
[TeX]27^6=387420489[/TeX]

fix33 · #15

On peut assez facilement trouver que le nombre entier est compris entre 20 et 32 car :
20^6=2^6 x 1.000.000=64.000.000 (8 chiffres)
32^6=(2^5)^6=2^30=(2^10)^3=(1024)^3 (10 chiffres)

Ensuite si on fait la somme des chiffres de la puissance on trouve 45 (=9x5), ce qui implique que notre nombre entier est un multiple de 3.
Il nous reste donc 21, 24, 27 et 30. Mais on s'en doute 30 ne fera pas l'affaire.

Enfin on peut essayer de deviner le dernier chiffre de notre nombre entier. Pour cela il faut se souvenir que le dernier chiffre d'une puissance ne dépend que du dernier chiffre de l'entier initial. Or :
1^6=1
2^6=64
3^6=9^3=729
4^6=2^12=4096
5^6=...5
6^6=2^6 x 3^6=...6
7^6=49^3=(...9)^3=...9
8^6=4^6 x 4^6=...6
9^6=3^6 x 3^6=...9
D'où on déduit que l'entier recherché ne peut se terminer que par 2, 3, 7 ou 9.

Il ne nous reste donc plus que 27 !

dhrm77 · #16

Si X est le nombre a trouver.
D'abord X ne se termine pas par 0, sinon il y aurait au moins 6 zeros.
En calculant le chiffre des unités des puissances de 1 a 9, on peut dire que X se termine par 2, 3, 7 ou 8.
Ensuite si X^6 a 9 chiffres, alors X^2 a 3 chiffres, donc X peut etre au maximum 31.
Ensuite comme ce nombre n'a pas de 1, le plus petit X^6 possible est 203447889
La, je triche un peu, j'utilise une calculatrice pour determiner que X est au minimum 25.
Les seuls nombres entre 25 et 31 qui se terminent par 2, 3, 7, ou 8 sont 27 et 28.
Et la pour determiner duquel il s'agit, je seche.
========================
En regardant les resultats:
27^6=387420489 c'est bon
28^6=481890304 n'est pas bon.
Meme je trouvais une solution pour calculer de tete les 2 premiers ou 2 derniers chiffres ca ne m'aiderais pas... quand aux chiffres du milieu...c'est bien moins evident a moins de faire le calcul complet de tete.

franck9525 · #17

Beaucoup de réponses toutes très intéressantes. Une méthode possible permet de trouver le résultat sans aucun calcul complexe. Elle repose sur trois 'astucieuses' techniques.

Spoiler : plutôt pour ceux qui ont déjà répondu

Nitimur · #18

Ce nombre comporte 9 chiffres. De tête, on calcule sans trop de problèmes que sa racine sixième est comprise entre 22 et 31 (inclus). Additionnons maintenant les 9 chiffres, on trouve 45, et 4+5=9, ce qui, d'après une vieille astuce de primaire nous indique que le nombre est multiple de 9. On démontre aisément qu'il en est de même pour sa racine sixième. Le seul nombre entier multiple de 9 et compris entre 22 et 31 est 27!
Après vérification, 27^6=387420489, ce qui correspond...

shadock · #19

Il faut commencer par se faire une idée de l'intervalle :
On commence avec 10 et 100 puissance 6 donc [latex]10^6<n<100^6[/latex] car 100^6 à 13 chiffres.
On continue on essaye avec 20^6=64000000 et 50^6=15625000000, 5^6 si on est malin ça se fait de tête (perso j'y arrive)

On essaye ensuite avec 30^6=729000000 on est donc proche de notre nombre voulu. On peut imaginer qu'il se trouve entre 21^6 et 31^6 en effet en coupant le nombre 988744320 comme suit 988 744320 on se rend compte rapidement que [latex]3^6<988<4^6[/latex]

On raisonne ensuite avec le chiffre des unités :
0^6=0
1^6=1 pas de 1
2^6=64
3^6=729
4^6=(2^6)^2=2^12=4096 pas de 6
5^6 se fini forcement par 5, donc pas de 5.
6^6 de même
7^6=(7^3)^2=343^2=117649
8^6 se termine forcement par 4
9^6 se termine par 1 (9^2=81 et 81*9 par 9 ainsi de suite jusqu'à 9^6) pas de 1

Il nous reste donc au choix : 22^6 / 23^6 / 27^6 /28^6 et 30^6
Moi j'aime bien décomposer les nombres :
J'ai remarqué que 27 se décompose en deux nombres inférieurs 10 donc plus simple pour les calculs 27=3*9=3*3^2

Alors : (27)^6=(3*3*3)^6=729*729*729 après j'ai vraiment du mal, j'ai vérifié à la calculatrice et mon intuition était bonne c'est bien de 27^6 qu'on parle mais je ne sais pas comment continuer.

Shadock

Nombrilist · #20

J'ai continué à partir de 27, 28 ou 32. De tête, 32^4 = 1 048 576 et 32^2 = 1024. Donc, 32^6 a 10 chiffres. Il me reste donc 27 ou 28.

Le nombre à 9 chiffres est divisible par 3. Donc, le bon nombre est 27. Après vérification, c'est bien ça.

MthS-MlndN · #21

La puissance sixième du nombre est quelque part entre 200 millions et un milliard. Je divise par 1000000 (j'enlève six zéros) : la puissance sixième du nombre initial divisé par dix est quelque part entre 200 et 1000. De tête toujours, [latex]2^6 = 64[/latex], [latex]3^6=9^3 = 729[/latex] et [latex]4^6[/latex] est supérieur a 1000, donc le nombre initial doit être (a la louche) entre 24 et 31.

Voila. Bon. Ca fait pas vraiment avancer le schmilblick.

Le nombre cherché ne finit pas par 0 (sinon il y aurait six zéros dans la puissance sixième), ni par 1 (sinon la puissance sixième finirait par 1), ni par 4 (sinon la puissance sixième finirait par 6), ni par 5 (etc.), ni par 6 (idem que pour 4), ni par 9 (idem que pour 1).

Il nous reste 2, 3, 7 et 8 comme chiffre des unités possible. Les derniers candidats sont donc 27 et 28.

Comment les départager ? Bonne question.

SHTF47 · #22

La démo de Clydevil est de loin ma préférée. Rapide, très simple, et avec un minimum de calcul. Bravo !!!

L00ping007 · #23

Je ne suis pas d'accord avec l'argument : la somme des chiffres de la puissance sixième est divisible par 9, donc le nombre aussi. On ne peut que conclure qu'il est divisible par 3. En effet 3^6=729, mais 3 n'est pas divisible par 9

La démo la plus simple (et exacte) à mon sens, est celle d'halloduda (ou fix)
J'avais fait comme lui, mais en oubliant qu'il n'y avait pas de 1 dans la puissance sixième, ce qui éliminait 21

Oups! · #24

Nitimur a écrit:
(...) d'après une vieille astuce de primaire nous indique que le nombre est multiple de 9. On démontre aisément qu'il en est de même pour sa racine sixième. (...)

voyons donc cette démonstration aisée ...

la remarque vaut pour les autres utilisant cette simplification...

6^6 = 46656 est divisible par 9 mais pas 6 !

JJ

édit : looping avait déjà fait la remarque, effectivement...

gasole · #25

L00ping007 a écrit:
La démo la plus simple (et exacte) à mon sens, est celle d'halloduda (ou fix)
J'avais fait comme lui, mais en oubliant qu'il n'y avait pas de 1 dans la puissance sixième, ce qui éliminait 21

Argh chuis vexé, j'ai la même en plus détaillée car j'explique comment on arrive à (21,30).

Étonnant le nombre de gars qui ont cru à tort que N^6 divisible par 9 implique N divisible par 9...

et à l'adresse de SHFT : la démo pour laquelle tu votes contient une erreur (divisibilité par 9) qui en d'autres circonstances aurait pu mener à une réponse fausse et de plus nécessite l'évaluation de 4^6 et de 3^6... ce qui n'est pas de tout repos. Et toc !

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Nitimur a écrit:

#25 - 04-04-2011 15:57:29

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L00ping007 a écrit:

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