La formule de la tangente d'une somme ne me semble valable que pour une fonction tangente de R dans R. Il faudrait redéfinir tout le bazar correctement avant de pouvoir en tirer une conclusion.
En fait, tu as plutôt démontré que cette formule ne marche pas de C dans C.

Si je ne m'abuse, la phrase "Considérons un angle complexe $\alpha$ tel que $\tan \alpha= i$" est une arnaque :-)

un tel angle n'existe pas ! Sinon on aurait :
$$\tan \alpha = i$$
$$\Rightarrow \tan^2 a = -1$$
$\Rightarrow \tan^2 a + 1 =0$ et en multipliant par $\cos^2\alpha$ de chaque côté on trouverait:
$\sin^2 a + \cos^2\alpha = 0$ d'où $0=1$

Comme la conclusion est fausse, c'est qu'il y a une erreur glissée dans l'énoncé.

La trigonométrie avec des complexes n'est pas un domaine que je pratique tous les jours, c'est donc sans doute par là que se situe le piège...
La formule de la tangente d'une somme s'applique aux complexes.
2kpi est bien la période de la tangente complexe.
Il y a donc à parier que l'hypothèse "considérons a tel que tan a = i soit impossible"...
En effet, si on essaie de résoudre tan a = i dans C, on ne trouve pas de solution car il faudrait un réel x qui vérifie th(x)=1 (soit exp(-x)=0).

Bravo à gasole, dylasse et rivas.

Contrairement à ce que certains ont écrit, la formule de la tangente d'une somme fonctionne très bien avec des nombres complexes.

Le seul problème de cette démonstration est qu'il n'existe pas de nombre complexe a tel que tan a = i, car comme l'a très bien montré rivas, cela équivaudrait à annuler une exponentielle, ce qui est évidemment impossible.

Il m'en reste une petite du même style mais plus géométrique, je vous la proposerai l'année prochaine...

chui nouveau dans ce site mais je croix que gasole ne peux pas multiplier par cos^2(x) que si x<>pi/2 alors la démonstration serait valable si x<>pi/2