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#1 - 31-07-2011 11:49:05
- nodgim
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multiple de 7 parfaiy
Trouver s'il existe le plus petit multiple de 7 comportant une fois et une seule chaque chiffre du système décimal.
Usage de l'informatique ou de la calculette interdit (donc justifier la méthode).
Bon amusement.
NB: Comme ça devrait être vite trouvé, même question avec 11.
#2 - 31-07-2011 23:15:12
- scarta
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Multiple de 7 parait
On commence par écrire le plus petit possible: 1023456789 Ce n'est pas un multiple de 7 Par contre, 10234 l'est; de même 56 et 7. 89 n'en est pas un, mais 98 oui La réponse est donc 1023456798
Pour 11, on va procéder différemment: la somme des chiffres d'indices pairs moins celle des chiffres d'indices impairs doit être un multiple de 11. Autrement dit; on aurait x+y = 45 x-y = 0 (ou 11 ou -11 ou 22 ou -22 etc...) x+y est impair: x et y n'ont pas la même parité; on va donc chercher les différences impaires uniquement Pour une différence de +/- 33, x ou y vaudrait 6; c'est impossible, le plus petit étant 0+1+2+3+4 = 10
On va donc chercher x-y=11; autrement dit x=28 et y = 17 Le plus petit nombre possible commencerait par 102: il serait donc de bon ton de mettre 1 et 2 dans le même groupe, et 0 dans l'autre. Avec 1+2+a+b+c, on totalise un maximum de 27: le groupe qui contient 1 et 2 devra donc faire 17 et celui qui contient 0 devra faire 28. Là, on a que 2 possibilités: 1,2,3,5,6 / 0,4,7,8,9 ou 1,2,3,4,7 / 0,5,6,8,9 Les nombres correspondants sont: 1024375869 ou 1025364879 Le plus petit est donc 1024375869
#3 - 01-08-2011 14:33:17
- rivas
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Multiple de 7 parfat
Me voici de retour de vacances. Il est temps de reprendre un peu d'exercice pour pour fin août ![smile](img/smilies/smile.png)
Je trouve plus facilement pour 11 que pour 7. En effet, le critére de divisibilité par 11 est plus simple: la somme des termes de rangs pair (que je note p) doit être égale à la somme des termes de rang impair (i). On cherche p et i chacun somme de 5 chiffres (entiers naturels inférieurs à 10 pour Mathias ) distincts tels que: p+i=45 p-i=0 ou |p-i|=11 ou |p-i| ne peut pas être > 15 donc les cas 22, 33, ... sont exclus. p-i=0 est impossible à cause de la parité. On cherche donc p-i=11. On verra ensuite p-i=-11. On cherche donc p=28 et i=17. On cherche un nombre de la forme 10.... (0 ne peut être en premiere position d'après l'énoncé). On place 0 dans p, 1 dans i puis on essaye de placer alternativement dans i et p pour que les premiers chiffres soient les plus petits possibles. Je trouve: 1024375869. Mais comme je n'ai pas écrit de petit bout de programme, je ne suis pas du tout sûr que ça soit le plus petit...
Je vais regarder pour 7.
Edit: Pour 7, j'utilise un autre méthode que ci dessus. Le critère de divisibilité pour 7 est en partant de la droite: 1 3 2 -1 -3 -2 ... Je divise le plus petit nombre de 10 chiffres différents: 1023456789 par 7. Le reste vaut 5. J'en déduit qu'il faut ajouter 2 au critère de divisibilité. En échangeant tout simplement le 8 et le 9 on passe de 1x9+3x8=33 à 1x8+3*9=35. Sans toucher aux positions des autres chiffres je viens bien d'augmenter de 2 le critère de divisibilité et donc je suis sûr que 1023456798 est divisible par 7 et est le plus petit.
#4 - 01-08-2011 21:07:10
- nodgim
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multiple fe 7 parfait
Question subsidiaire pour les + courageux: Quel est le plus petit nombre qui ne peut diviser ce nombre parfait (composé des 10 chiffres représentés une seule fois) ?
#5 - 01-08-2011 21:55:35
- rivas
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Mlutiple de 7 parfait
J'ai doublé le '6'. Voila que je bégaye maintenant ![smile](img/smilies/smile.png) Merci pour la note, c'est corrigé.
#6 - 02-08-2011 16:01:18
- scarta
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Multiple de 7 aprfait
Pour la question subsidiaire, je dirais 100: il est en effet impossible de générer un tel nombre avec 2 zéros. Quant à savoir si c'est le plus petit possible; c'est plus chaud: faut tout tester. Je compléterai la liste ci-dessous à l'occasion
#7 - 02-08-2011 17:54:49
- nodgim
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Multiple de 7 parfaitt
Bien vu Scarta. Même analyse que la tienne, et sans avoir tout tester, c'est à peu près certain que les nombres inférieurs divisent au moins une fois le "parfait". A suivre...
#8 - 02-08-2011 21:01:26
- Franky1103
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Multple de 7 parfait
Bonjour, J'avais l'intention de décomposer ce nombre de 10 chiffres (tous différents) en, par exemple, 5 sous-groupes de 2 chiffres (avec chaque nombre résultant des 2 chiffres, multiple de 7). Mais, je me dis que, même si j'y arrive (et ce n'est pas gagné), le nombre final obtenu de 10 chiffres sera forcément multiple de 7, sans avoir cependant la certitude que c'est le plus petit. Je dois donc trouver une autre méthode, mais je sèche un peu. Bonne soirée. Frank
#9 - 03-08-2011 00:21:02
- Franky1103
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Multiple de 77 parfait
Rebonjour,
Bon, j'ai cherché un peu et je pense avoir trouvé la solution par "tatonnements". Le plus petit nombre avec des chiffres tous différents, en s'interdisant le 0 en première place, est: 1023456789, qui n'est pas divisible par 7 car congru à 5 modulo 7. Si j'inverse le 8 et le 9, je "gratte" 98 - 89 = 9 qui rajouté au 5 donne 14 divisible par 7: gagné: réponse = 1023456798.
Comme je connais le caractère de divisibilité par 11, j'ai appliqué une méthode moins empirique pour la dernière question. La somme des 10 chiffres est 45, que je dois scinder en 2 groupes où la différence de la somme est divisible par 11. La relation 28 - 17 = 11 avec 28 + 17 = 45 semble parfaite. Je prends donc 12356 et 04789 et la réponse est 1024375869.
Bonne soirée. Frank
#10 - 03-08-2011 08:49:32
- nodgim
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#11 - 03-08-2011 09:03:34
- scarta
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multiple de 7 oarfait
Question tordue++: quel est le plus petit premier qui ne divise aucun nombre écrit avec les chiffres de 0 à 9 utilisés une et une seule fois ?
#12 - 03-08-2011 09:06:49
- nodgim
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Multiple de 7 parfaait
Très bonne question! As tu la réponse ?
#13 - 03-08-2011 10:11:49
- Franky1103
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Multipe de 7 parfait
Bonjour nodgim, Avec 11, ma solution était assez méthodique, donc j'ai trouvé sans surprise. Par contre, avec 7, elle était très empirique: j'ai trouvé un peu par hasard. Y a t-il une solution avec 7 plus structurée ? Le caractère de divisibilité par 7 semble plus difficile à mettre en oeuvre que celui par 11. Merci et bonne journée. Frank
#14 - 03-08-2011 11:42:27
- scarta
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Multiple dee 7 parfait
Oui ![smile](img/smilies/smile.png)
#15 - 03-08-2011 13:20:09
- nodgim
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multiple de 7 parfaut
Franky1103 a écrit:Bonjour nodgim, Avec 11, ma solution était assez méthodique, donc j'ai trouvé sans surprise. Par contre, avec 7, elle était très empirique: j'ai trouvé un peu par hasard. Y a t-il une solution avec 7 plus structurée ? Le caractère de divisibilité par 7 semble plus difficile à mettre en oeuvre que celui par 11. Merci et bonne journée. Frank
Perso, je n'ai pas de solution intelligente pour trouver la divisibilité par 7 avec ce nombre à 10 chiffres différents. Il existe des critères de divisibilité par 7, mais je ne pense qu'il puisse être efficace pour, par exemple, trouver tous les nombres divisibles par 7 dans le cadre de ce sujet. Ce n'était pas au départ le but de la question, mais on peut toujours y réfléchir.
#16 - 03-08-2011 13:20:36
- nodgim
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Mutiple de 7 parfait
scarta a écrit:Oui ![smile](img/smilies/smile.png)
trouvé par l'analyse ?
#17 - 04-08-2011 08:56:10
- scarta
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Multiple de 7 parfiat
Pour la division par 7 (et pour quasiment tous les nombres que j'ai donné sauf cas particuliers), la méthode est la même: écrire une liste des petits multiples de 7, essayer ensuite d'en composer un certain nombre avec des chiffres tous différents.
Pour la "question++", j'ai trouvé un résultat par analyse avec un PC pour aider quand même (ne serait-ce que pour avoir une liste de premiers); mais j'ai quand même utilisé un PC ensuite pour vérifier que ce résultat était le plus petit possible. L'idée était la suivante: si j'ai un premier avec un nombre important de 1 successifs (par rapport à la taille du nombre), j'ai de fortes chances pour que ses multiples aient des chiffres similaires (à condition qu'il y ait plus de 1 successifs que de chiffres dans le nombre avec lequel je multiplie). Des premiers avec que des 1 dans la limite qui nous intéresse, il n'y a que 11 (le suivant est 1111111111111111111; trop long) Du coup, je cherchais les nombres Z de la forme "1Nfois puis X" tels que N soit supérieur ou égal au nombre de chiffres de 987654321/Z. J'ai donc pu voir que N devait valoir au moins 5. Comme on cherche le plus petit, j'ai démarré avec N=5; et j'ai trouvé un nombre premier qui marche : 111119 J'ai ensuite vérifié par ordinateur que c'était bien une bonne solution et qu'elle était bien la plus petite.
#18 - 04-08-2011 09:47:52
- rivas
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Mulltiple de 7 parfait
Je n'ai toujours pas compris l'énoncé de la question subsidiaire ![sad](img/smilies/sad.png) Y a-t-il une âme charitable pour tenter de m'expliquer la question?
Merci d'avance.
#19 - 04-08-2011 10:22:03
- Yanyan
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Muliple de 7 parfait
Pour généraliser la question ++ j'aurai besoin de calculer : [latex]\prod_{\sigma \in S_{n}} P_{\sigma}[/latex] où [latex]S_n[/latex] est le
groupe symétrique d'ordre n, [latex]P[/latex] est un polynôme de degré n et [latex]P_{\sigma}[/latex] désigne le
polynôme dont les coefficients sont ceux de [latex] P[/latex] permutés par [latex]\sigma[/latex].
Je ne suis pas certain que cela aboutisse mais c'est intéressant.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#20 - 04-08-2011 10:24:49
- rivas
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multiole de 7 parfait
Merci pour la clarification et bon courage ![smile](img/smilies/smile.png)
#21 - 04-08-2011 10:25:47
- nodgim
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multiple de 7 pardait
Pour rivas: la question subsidiaire est claire, on demande quel est le plus petit nombre qui ne peut pas diviser ce nombre composé des 10 chiffres différents représentés une seule fois (quel que soit l'ordre), et comme pour diviser par 100, il faut 2 zéros à la fin....
#22 - 04-08-2011 10:29:31
- nodgim
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Multiple de 7 pafait
Yanyan a écrit:Pour généraliser la question ++ j'aurai besoin de calculer : [latex]\prod_{\sigma \in S_{n}} P_{\sigma}[/latex] où [latex]S_n[/latex], est le
groupe symétrique d'ordre n [latex]P[/latex] est un polynôme de degré n et [latex]P_{\sigma}[/latex] désigne le
polynôme dont les coefficients sont ceux de [latex] P[/latex] permutés par [latex]\sigma[/latex].
Je suis pas certain que cela aboutisse mais c'est intéressant.
Je pense que Scarta a dû avoir recours à un petit programme pour en venir à boût. N'étant pas du tout féru d'informatique, j'attends avec curiosité ce nombre mystère. Je soupçonne qu'il est à au moins 4 chiffres mais...
#23 - 04-08-2011 10:46:02
- Yanyan
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Multile de 7 parfait
Si quelqu'un est doué en informatique, il peut nous donner les valeurs du produit pour n petit. Merci.![smile](img/smilies/smile.png)
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#24 - 04-08-2011 12:15:09
- Bamby2
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#25 - 04-08-2011 13:00:46
- nodgim
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Mutiple de 7 parfait
Je suis épaté par la perf, c'est un bon algo, comment marche t il ? Sinon ici tu devrais trouver des nb premiers plus grands: http://nombrespremiersliste.free.fr/
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