Me voici de retour de vacances. Il est temps de reprendre un peu d'exercice pour pour fin août

Je trouve plus facilement pour 11 que pour 7.
En effet, le critére de divisibilité par 11 est plus simple: la somme des termes de rangs pair (que je note p) doit être égale à la somme des termes de rang impair (i).
On cherche p et i chacun somme de 5 chiffres (entiers naturels inférieurs à 10 pour Mathias ) distincts tels que:
p+i=45
p-i=0 ou |p-i|=11 ou |p-i| ne peut pas être > 15 donc les cas 22, 33, ... sont exclus.
p-i=0 est impossible à cause de la parité.
On cherche donc p-i=11. On verra ensuite p-i=-11.
On cherche donc p=28 et i=17.
On cherche un nombre de la forme 10.... (0 ne peut être en premiere position d'après l'énoncé).
On place 0 dans p, 1 dans i puis on essaye de placer alternativement dans i et p pour que les premiers chiffres soient les plus petits possibles.
Je trouve: 1024375869. Mais comme je n'ai pas écrit de petit bout de programme, je ne suis pas du tout sûr que ça soit le plus petit...

Je vais regarder pour 7.

Edit: Pour 7, j'utilise un autre méthode que ci dessus.
Le critère de divisibilité pour 7 est en partant de la droite:
1 3 2 -1 -3 -2 ...
Je divise le plus petit nombre de 10 chiffres différents: 1023456789 par 7. Le reste vaut 5.
J'en déduit qu'il faut ajouter 2 au critère de divisibilité.
En échangeant tout simplement le 8 et le 9 on passe de 1x9+3x8=33 à 1x8+3*9=35. Sans toucher aux positions des autres chiffres je viens bien d'augmenter de 2 le critère de divisibilité et donc je suis sûr que
1023456798 est divisible par 7 et est le plus petit.

J'ai doublé le '6'. Voila que je bégaye maintenant
Merci pour la note, c'est corrigé.

Bien vu Scarta. Même analyse que la tienne, et sans avoir tout tester, c'est à peu près certain que les nombres inférieurs divisent au moins une fois le "parfait". A suivre...

Rebonjour,

Bon, j'ai cherché un peu et je pense avoir trouvé la solution par "tatonnements".
Le plus petit nombre avec des chiffres tous différents, en s'interdisant le 0 en première place, est: 1023456789, qui n'est pas divisible par 7 car congru à 5 modulo 7. Si j'inverse le 8 et le 9, je "gratte" 98 - 89 = 9 qui rajouté au 5 donne 14 divisible par 7: gagné: réponse = 1023456798.

Comme je connais le caractère de divisibilité par 11, j'ai appliqué une méthode moins empirique pour la dernière question. La somme des 10 chiffres est 45, que je dois scinder en 2 groupes où la différence de la somme est divisible par 11. La relation 28 - 17 = 11 avec 28 + 17 = 45 semble parfaite. Je prends donc 12356 et 04789 et la réponse est 1024375869.

Bonne soirée.
Frank

Question tordue++: quel est le plus petit premier qui ne divise aucun nombre écrit avec les chiffres de 0 à 9 utilisés une et une seule fois ?

Bonjour nodgim,
Avec 11, ma solution était assez méthodique, donc j'ai trouvé sans surprise.
Par contre, avec 7, elle était très empirique: j'ai trouvé un peu par hasard.
Y a t-il une solution avec 7 plus structurée ?
Le caractère de divisibilité par 7 semble plus difficile à mettre en oeuvre que celui par 11.
Merci et bonne journée.
Frank

Franky1103 a écrit:

Bonjour nodgim,
Avec 11, ma solution était assez méthodique, donc j'ai trouvé sans surprise.
Par contre, avec 7, elle était très empirique: j'ai trouvé un peu par hasard.
Y a t-il une solution avec 7 plus structurée ?
Le caractère de divisibilité par 7 semble plus difficile à mettre en oeuvre que celui par 11.
Merci et bonne journée.
Frank

Perso, je n'ai pas de solution intelligente pour trouver la divisibilité par 7 avec ce nombre à 10 chiffres différents. Il existe des critères de divisibilité par 7, mais je ne pense qu'il puisse être efficace pour, par exemple, trouver tous les nombres divisibles par 7 dans le cadre de ce sujet. Ce n'était pas au départ le but de la question, mais on peut toujours y réfléchir.

Pour la division par 7 (et pour quasiment tous les nombres que j'ai donné sauf cas particuliers), la méthode est la même:  écrire une liste des petits multiples de 7, essayer ensuite d'en composer un certain nombre avec des chiffres tous différents.

Pour la "question++", j'ai trouvé un résultat par analyse avec un PC pour aider quand même (ne serait-ce que pour avoir une liste de premiers); mais j'ai quand même utilisé un PC ensuite pour vérifier que ce résultat était le plus petit possible.
L'idée était la suivante: si j'ai un premier avec un nombre important de 1 successifs (par rapport à la taille du nombre), j'ai de fortes chances pour que ses multiples aient des chiffres similaires (à condition qu'il y ait plus de 1 successifs que de chiffres dans le nombre avec lequel je multiplie).
Des premiers avec que des 1 dans la limite qui nous intéresse, il n'y a que 11 (le suivant est 1111111111111111111; trop long)
Du coup, je cherchais les nombres Z de la forme "1Nfois puis X" tels que N soit supérieur ou égal au nombre de chiffres de 987654321/Z. J'ai donc pu voir que N devait valoir au moins 5. Comme on cherche le plus petit, j'ai démarré avec N=5; et j'ai trouvé un nombre premier qui marche : 111119
J'ai ensuite vérifié par ordinateur que c'était bien une bonne solution et qu'elle était bien la plus petite.

Pour généraliser la question ++ j'aurai besoin de calculer : [latex]\prod_{\sigma \in S_{n}} P_{\sigma}[/latex] où [latex]S_n[/latex] est le

groupe symétrique d'ordre n,  [latex]P[/latex] est un polynôme de degré n et [latex]P_{\sigma}[/latex] désigne le

polynôme dont les coefficients sont ceux de [latex] P[/latex] permutés par [latex]\sigma[/latex].

Je ne suis pas certain que cela aboutisse mais c'est intéressant.

Pour rivas: la question subsidiaire est claire, on demande quel est le plus petit nombre qui ne peut pas diviser ce nombre composé des 10 chiffres différents représentés une seule fois (quel que soit l'ordre), et comme pour diviser par 100, il faut 2 zéros à la fin....

Si quelqu'un est doué en informatique, il peut nous donner les valeurs du produit pour n petit.
Merci.

Je suis épaté par la perf, c'est un bon algo, comment marche t il ?
Sinon ici tu devrais trouver des nb premiers plus grands:
http://nombrespremiersliste.free.fr/