Enigme Multiple de 59 @ Prise2Tete

salehseghiri · #1

déterminer les deux entiers m,n qui vérifient :
[TeX]{\mathit{{\color{blue} 59*m=\underset{\underbrace{n fois }}{2222222...222}}}}[/TeX]

EfCeBa · #2

J'ai écrit un programme javascript sans trop réfléchir :

Code:

function str_repeat(str,i) {
 return new Array(i+1).join(str); 
}
for(n=1;n<100;n++){
 x=new BigInt(str_repeat('2',n));
 if (bigint_mod(x,59)==0) document.write('m='+bigint_div(x,59)+', n='+n);
}

Résultat : m=37664783427495291902071563088512241054613935969868173258, n=58

Evidemment, les autres multiples de 58 fonctionnent.

dhrm77 · #3

je trouve que :
59*37664783427495291902071563088512241054613935969868173258 =
2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

dylasse · #4

m ~ 3,7664... 10^55
n=58

Pour trouver, c'est bourrin !
Le chiffre des unités de m doit être 8 pour que m * 9 ait 2 comme chiffre des unités et on réitère joyeusement... (merci excel !).

gabrielduflot · #5

m=37664783427495291902071593088512241054613935969868173258
n = 59

MthS-MlndN · #6

Alors... Il faut que m se termine par 8 pour que le résultat du produit se termine par un 2. 59 x 8 = 472, on doit donc ajouter 5 au chiffre des dizaines, et donc m se termine par 58. 59 x 58 = 3422, etc :

59 x 8 = 472
59 x 58 = 3422 (4+8=12, 59 x 2 se termine par 8)
59 x 258 = 15222 (5+7=12, 59 x 3 se termine par 7)
59 x 3258 = 192222 (...)
59 x 73258 = 4322222
59 x 173258 = 10222222
59 x 8173258 = 482222222
59 x 68173258 = 4022222222
59 x 868173258 = 51222222222
59 x 9868173258 = 582222222222
59 x 69868173258 = 4122222222222
59 x 969868173258 = 57222222222222
59 x 5969868173258 = 352222222222222
59 x 35969868173258 = 2122222222222222
59 x 935969868173258 = 55222222222222222
59 x 3935969868173258 = 232222222222222222
59 x 13935969868173258 = 822222222222222222
59 x 613935969868173258 = 3622222222222222222
59 x 4613935969868173258 = 27222222222222222222
59 x 54613935969868173258 = 322222222222222222222
59 x 1054613935969868173258 = 62222222222222222222222

...et on y arrive un jour ? Arf, je m'acharne, et voilà :

m = 37664783427495291902071563088512241054613935969868173258
n = 58

Du coup, ce sont les plus petites valeurs de m et n, non ?

scarta · #7

Mis à part (0;0) qui marche très bien
Comme [latex]\forall n \in [0;57], 10^n \equiv a [59][/latex] avec a qui parcours l'ensemble [1;58] entièrement (quoique dans un ordre différent) , alors [latex]\sum_{n=0}^{57}10^n \equiv \sum_{n=1}^{58}n [59][/latex], donc [latex]\sum_{n=0}^{57}10^n \equiv 0 [59][/latex]
Par conséquent, n = 57 et [latex]m = \frac{2*\sum_{n=0}^{57}10^n}{59}[/latex]

scrablor · #8

Le petit théorème de Fermat a écrit:
Si a est un entier non divisible par le nombre premier p, alors a^(p-1)-1 est divisible par p.

10 n'est pas divisible par le nombre premier 59, alors 10^58-1 est divisible par 59.
Ce nombre s'écrit 999...999 avec 58 chiffres 9.
59 et 9 sont premiers entre eux, donc 111...111 est aussi divisible par 59, tout comme son double 222...222 avec n=58 chiffres 2.
Ce qui donne évidemment :
m=37664783427495291902071563088512241054613935969868173258

Les valeurs n multiples de 58 conviennent aussi : la solution n'est pas unique

NickoGecko · #9

Bonjour

Invention de l'eau tiède :
k * 9 = (k-1)*10 + (10-k)

intéressant par exemple 8*9 = 72 et 2 est égal à 10-8 !
magique !

Passons aux choses sérieuses :

Première itération pour avoir un chiffre des unités égal à 2: 8 x 59 = 472

8 x 59 = 472
On veut un 2 à la place du 7 à la prochaine itération
Donc il manque 5
Donc le chiffre des dizaines du multiplicateur suivant est un 5

58 x 59 = 3 422
On veut un 2 à la place du 4 à la prochaine itération
Donc il manque 8
Donc le chiffre des centaines du multiplicateur suivant est un 2

258 x 59 = 15 222
On veut un 2 à la place du 5 à la prochaine itération
Donc il manque 7
Donc le chiffre des milliers du multiplicateur suivant est un 3

......

On arrive (avec quelques subtilités dues aux zéros à intercaler) à :
m = 37664783427495291902071563088512241054613935969868173258
pour écrire 222222....22222 avec n = 58 chiffres

Tiens tiens !
58 = 59 - 1
(et 59 est premier, et termine par 9 ...)
Y aurait-il une congruence là-dessous ?
A creuser ....

Nicolas

schaff60 · #10

n=58
m=37 664 783 427 495 291 902 071 563 088 512 241 054 613 935 969 868 173 258

papiauche · #11

1°) D'après le -petit- théorème de Fermat
[TeX] (10^{58} -1) \equiv 0 \bmod 59

donc

(10^{58}-1) = 59*m_1
[/TeX]
2°) [latex]10^{58}-1[/latex] s'écrit avec 58 "9" successifs, et est donc trivialement divisible par 9, donc [latex]m_1[/latex] l'est aussi.

On pose [latex]m_2[/latex] tel que:
[TeX]m_1 = 9*m_2 [/TeX]
Donc avec n = 58 et m=[latex]2*m_2[/latex], le tour est joué.

perceval · #12

Tout ce que je peux dire c'est que si une solution existe m se termine par un 8

Nombrilist · #13

Et moi, tout ce que je peux dire, c'est que je n'ai compris que le raisonnement de EfCeBa.
Je n'ai pas bien compris le "évidemment" de Scrablor

scrablor · #14

Mon "évidemment" vient du fait que si je connais le nombre de droite, je peux trouver m en divisant par 59. Rassure-toi, je ne l'ai pas fait à la main

MthS-MlndN · #15

Scarta, Papiauche et Scrablor ont fait du joli travail. Passer par le petit de Fermat était une excellente idée ; quant aux congruences modulo 59 des puissances de 10... Ouah. Ce mec est un ordinateur

@Nombrilist : un peu de lèche-cul ne fait pas de mal, je le sais bien, mais... où est-ce qu'EfCeBa a posé un raisonnement ? Il a écrit deux lignes de Javascript

scarta · #16

MthS-MlndN a écrit:
Ce mec est un ordinateur

Meme pas, j'ai pas tout calculé (ni à la main, ni de tête, ni même à l'ordi)
Simple application du fait que Z/59Z est un anneau / groupe cylcique d'exposant 58 (corollaire du th. de Lagrange)

Nombrilist · #17

Mdr Mathias ! C'est juste que je voulais dire de façon imagée que je suivais bien l'algorithme rédigé par EfCeBa. Mais pas le raisonnement des autres personnes. Le Théorême de Fermat, connais pas. Et encore moins les anneaux et autres trucs bizarres.

MthS-MlndN · #18

scarta a écrit:
MthS-MlndN a écrit:
Ce mec est un ordinateur
Meme pas, j'ai pas tout calculé (ni à la main, ni de tête, ni même à l'ordi)
Simple application du fait que Z/59Z est un anneau / groupe cylcique d'exposant 58 (corollaire du th. de Lagrange)

OK, on y a réfléchi pendant 10 minutes avec un collègue, pour arriver à la conclusion que tu déboîtes. Chapeau bas !

papiauche · #19

Juste pour le fun d'une grosse formule Latex , la solution générale est (si je ne me suis pas gouré):
[TeX]m = \frac{2*\sum_{i=0}^{57}10^i*\sum_{j=0}^{+\infty}a_j*10^{58j}}{59}[/TeX]
avec
[TeX]\forall j, a_j \in \{0,1\}[/TeX]

perceval · #20

A quoi correspond le terme supplementaire à la formule de scarta?

MthS-MlndN · #21

Au fait qu'on peut écrire 222...222 (58 fois) comme un multiple de 59, mais aussi 222....222 (2x58 fois), 222....222 (3x58 fois, etc.)

Ce qui modifie un peu la formule de Papiauche :
[TeX]m = \frac{2 \times \sum_{i=0}^{57}10^i \times \sum_{j=0}^{k}10^{58j}} {59}[/TeX]
avec [latex]k \in \mathbb{N}[/latex].

Celle que Papiauche avait écrite donnait des nombres qui étaient faits de suites de 222...222 (58 fois) et de 000...000 (58 fois) concaténées, alors qu'on ne veut que des 222....222

On peut aussi faire une partie des calculs en avance :
[TeX]m = 37664783427495291902071563088512241054613935969868173258 \times \sum_{j=0}^{k}10^{58j}[/TeX]

papiauche · #22

Je viens de me rendre compte que les zéros c'est idiot

Merci Mathias.

MthS-MlndN · #23

De rien, Votre Seigneurie.

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#1 - 20-02-2010 20:55:47

Multiple de 599

#0 Pub

#2 - 20-02-2010 22:27:12

Multpile de 59

Code:

#3 - 20-02-2010 22:48:54

Mulitple de 59

#4 - 21-02-2010 02:56:42

Mlutiple de 59

#5 - 21-02-2010 12:07:32

multiple fe 59

#6 - 21-02-2010 13:05:13

Multiple de 95

#7 - 22-02-2010 12:31:10

mulriple de 59

#8 - 22-02-2010 13:29:25

Mutliple de 59

Le petit théorème de Fermat a écrit:

#9 - 23-02-2010 07:22:13

Mutiple de 59

#10 - 23-02-2010 08:49:52

Multipl de 59

#11 - 23-02-2010 16:54:52

multiplr de 59

#12 - 23-02-2010 18:26:19

multiple se 59

#13 - 24-02-2010 23:49:09

Multtiple de 59

#14 - 24-02-2010 23:53:16

myltiple de 59

#15 - 24-02-2010 23:54:55

Mulitple de 59

#16 - 25-02-2010 08:13:34

Mulltiple de 59

MthS-MlndN a écrit:

#17 - 25-02-2010 12:33:44

multiplr de 59

#18 - 25-02-2010 13:46:32

uMltiple de 59

scarta a écrit:

MthS-MlndN a écrit:

#19 - 25-02-2010 14:23:16

Muultiple de 59

#20 - 25-02-2010 14:40:33

muktiple de 59

#21 - 25-02-2010 14:41:41

Multiple d e59

#22 - 25-02-2010 14:47:36

Multiple d 59

#23 - 25-02-2010 14:51:58

Mulitple de 59

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