$$(n+1)^3+(n-1)^3-2 n^3=n^3+3n^2+3n+1+n^3-3n^2+3n-1-2n^3=6n$$

Ben il suffit juste de développer et résoudre l'équation, et ça fait 6N .

ma transcription du texte ne donne pas le même exercice, mais celui ci est faux,
alors que l'équation posé donne k=n.

mais a la lecture, il n'y a pas de raison d'inverser n+1/n et n/n-1.....

Et bien c'est simple, il suffit de factoriser...

Le cube de n+1 est n3+3n2+3n+1
donc la difference avec le cube de n est 3n2+3n+1

Le cube de n-1 est n3-3n2+3n-1
donc la difference avec le cube de n est 3n2-3n+1

donc la difference des differences est (3n2+3n+1)-(3n2-3n+1) = 6n qui est bien  un multiple de 6.

Bonjour,

Je pensais à une démonstration par récurrence, mais il suffit de développer l'expression au rang $N$

$$(N+1)^3-2N^3+(N-1)^3=6N$$
donc l'expression est vérifiée (multiple de 6) avec $k=N$

A bientôt !

En factorisant grâce aux identités remarquables a^3-b^3 = (a-b)(a²+ab+b²) puis a²-b² = (a-b)(a+b), on trouve, après simplification, k=n

La façon la plus "brutale" consiste à appliquer l'identité remarquable:

$$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$
Posons $D(N) = ((N+1)^3-N^3)-(N^3-(N-1)^3)$

Je détaille les étapes:
$$D(N) = (N-1-N)((N+1)^2+N(N+1)+N^2) - (N-N+1)(N^2+N(N-1)+(N-1)^2)[/latex] (application de l'identité remarquable) [latex]D(N) = (N+1)^2 - (N-1)^2 + N(N+1-(N-1))[/latex] (simplification et réordonnement des termes) [latex]D(N) = 4N + 2N = 6N$$
Donc D(N) est bien divisible par 6 et k=N

Mais cela n'est pas très "arithmétique".
Si on avait seulement voulu montrer la divisibilité par 6 de façon plus arithmétique, j'aurais procédé comme suit:
La parité de $N^3$ est la même que celle de $N$ (voir le détail pour le raisonnement identique pour 3 ci-dessous)
[TeX]N-1[/latex] et [latex]N[/latex] d'une part et [latex]N[/latex] et [latex]N+1[/latex] d'autre part sont de parités différentes donc:
[latex](N+1)^3-N^3[/latex] et [latex]N^3-(N-1)^3[/latex] sont tous deux impairs donc D(N) est divisible par 2 (pair)
De même, il est assez simple de montrer que $N$ et $N^3$ ont le même reste dans la division par 3 autrement dit que: $N^3 \equiv N [3]$ (cela est vrai trivialement pour 0, 1 et 2 et par récurrence en développant $(N+3)^3$ on prouve simplement que c'est congru à $N^3$ donc à $N$ donc à $N+3$ modulo 3)
Regardons donc D(N) modulo 3:
D'après ce qui précède:
[latex]D(N) \equiv N+1-N-(N-(N-1)) \equiv 0 [3][/TeX]
Donc D(N) est divisible par 3

Et donc D(N) est toujours divisible par 6.
Il est vrai que cette démonstration ne donne pas 'k' mais je la trouve plus arithmétique et donc je l'aime bien

Voila, voila, merci pour cet exercice

Je dois bien avouer que le plus compliqué était de comprendre l'énoncé littéral, mais j'avais déjà fait le boulot. Le reste était du développement d'équation.

Bravo à tous, mention spéciale pour rivas avec une démonstration arithmétique bien trouvée et à Mths qui a réussi à trouver 6n(n+1)

Tout ça pour une p**ain d'erreur de signe... Vous me faites ch**r, j'ai pas le droit d'être fatigué et/ou inattentif ?

J'adore les réponses de Vasimolo simples claires(preque congru connais pas mais comme dis si bien Kosmogol GETA) et courtes; pratiques pour économiser de la place sur les forum

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