Enigme Curiosité mathématique 1 : Somme des chiffres d'un cube @ Prise2Tete

SabanSuresh · #1

Bonsoir tout le monde, je crée ce sujet pour vous faire part d'une découverte (au sens : je ne le savais pas avant, maintenant je le sais ou presque ) que j'ai faite dans le domaine des maths et pour que vous que me démontriez ce que j'ai constaté. Ceci n'est pas une aide pour les devoirs (je précise ça au cas où). J'ai plein de petits trucs comme cela à vous demander (d'où le numéro 1 dans le titre).

Ma constatation : J'ai remarqué, d'où le titre, que la somme des chiffres d'un cube est de la forme :
- 9n-1, pour les nombres de la forme 3n-1 ;
- 9n, pour les nombres de la forme 3n et
- 9n+1, pour les nombres de la forme 3n+1 avec n supérieur ou égal à 0.

Le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer car je ne sais pas comment exprimer la somme des chiffres d'un nombres et ne connais pas les propriétés, si elles existent (hormis les critères de divisibilité), qui s'y rattachent. J'en suis là :
(3n-1)^3 = 27n^3 - 27n² + 9n - 1 = 9n(3n²-3n+1)-1 = 9n(3n(n-1)+1)-1
(3n)^3 = 27n^3
(3n+1)^3 = 27n^3 + 27n² + 9n + 1 = 9n(3n²+3n+1)+1 = 9n(3n(n+1)+1)+1

Je sais pas quoi faire avec et je me demande s'il fallait développer et j'ai l'impression que les parties que j'ai mises en gras ont un rapport avec la solution.

Merci de bien vouloir m'aider. Je mets une durée de temps où les réponses sont cachées pour préserver le plaisir de répondre.

Nombrilist · #2

Je dirais que dans:

(3n-1)^3 = 27n^3 - 27n² + 9n - 1

27n^3 - 27n² peut s'écrire 9n'

Et donc (3n-1)^3 = 9n'+9n-1 = 9(n'+1)-1

CQFD. On démontre pareillement pour 9n+1.

Note: On pouvait aussi factoriser le développement par 9. Tout simplement.

SabanSuresh · #3

Oui mais là, si je comprends bien, vous démontrez que le cube d'un nombre de la forme 3n-1 peut aussi s'écrire sous la forme 9n-1, c'est ça ???
Ce que je cherche c'est prouver que la somme des chiffres du cube d'un nombre de la forme 3n-1 s'écrit sous la forme 9n-1. Et pareil pour 3n et 3n+1.

gwen27 · #4

Un multiple de 9 ayant la somme de ses chiffres qui est multiple de 9 , je ne vois pas où est la différence.

9n a une somme des chiffres = 9m

idem avec -1 ou +1 (retenue oblige la cas échéant)

cogito · #5

Le théorème qui vous manque est celui-là :

Si [latex]sc(n)[/latex] est la somme des chiffres de [latex]n[/latex] (écrit en base 10) alors :
[TeX]sc(n)\equiv n \mod 9[/TeX]
Spoiler : [Afficher le message]

gilles355 · #6

Salut, je pense que ce serait simple pour tous le monde si tu donnais des exemples.
Dans ta demonstration on dirait que tu calcul juste le cube d'un nombre et pas sa somme.

Il faudrait que tu précise si n est un entier naturel ou autre.

Nombrilist · #7

On est bien d'accord que les "n" dans 3n-1 et 9n-1 ne sont pas les mêmes ?

golgot59 · #8

Je répond juste vite fait, mais il me semble que c'est juste lié au fait que la somme des chiffres d'un multiple de 9 est un multiple de 9.

ensuite, à partir de tes expressions développées, ça me semble évident.

Il est tard, je vais me coucher. ^^

nodgim · #9

Apparemment, tu ne dois pas être familiarisé avec l'arithmétique modulaire, sinon tu n'aurais pas posé la question.
Une opération que tu fais sur un nombre, tu peux la faire sur la somme des chiffres modulo 9. Si tu travaillais en base k, tu aurais la même propriété avec k-1.
Ceci est dû au fait que 10=1 modulo 9. Et donc 100=10*10=1 modulo 9.
Etc..

Vasimolo · #10

Quel est l'intérêt d'ouvrir une question en version cachée ???

Le buzz pour le buzz

Vasimolo

SabanSuresh · #11

La réponse était évidente pour tout le monde à ce que je vois. Je ne suis pas encore assez familiarisé (voire pas du tout) avec l'arithmétique modulaire pour l'utiliser dans mes calculs. Le principal, c'est que j'ai compris : merci beaucoup de m'avoir aidé. La prochaine, je réfléchirai plus avant de poster.

Clydevil · #12

Salut,

Déjà un rappel sur le critère de modulo 3 d'un chiffre en base 10:

A = a0 + a1 × 10 + a2 × 10^2 + … + an × 10^n.
Mais 10 est congru à 1 modulo 3, donc ses puissances aussi, donc
A ≡ a0 + a1 + a2 + … + an mod 3.

En une phrase:
Le modulo 3 d'un entier A est bien le modulo de la somme de ses chiffres en base 10.

Après pour revenir à cette histoire de cube il suffit de remarquer que mettre au cube conserve le modulo 3.
-1 mod 3 au cube reste -1 mod 3.
0 reste 0 et 1 reste 1.

Du coup le modulo 3 d'un chiffre A est d'une part le modulo 3 de la somme de ses chiffres mais c'est également le modulo 3 de la somme des chiffres de son cube.

SabanSuresh · #13

Ok, je retiendrai.

nodgim · #14

On peut ajouter: en modulo, tu peux faire les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication comme en arithmétique ordinaire. Cependant, ça ne marche pas du tout pour les divisions.

SabanSuresh · #15

Ok et pour la notation c'est bien :
le nombre en base 10, trois traits horizontaux, suivi du nombre auquel est congru le nombre de départ et du modulo entre crochet ou entre parenthèses ou entre parenthèses avec mod devant comme :
24 ≡ 6 (9),
24 ≡ 6 [9] et
24 ≡ 6 (mod 9). C'est ça ???

shadock · #16

Oui c'est ça, quoique la première "24 ≡ 6 (9)" je ne l'ai jamais vu

SabanSuresh · #17

Ah d'accord, moi je préfère la deuxième, plus esthétique à mon avis. En tout cas, merci beaucoup à tous !

MthS-MlndN · #18

shadock a écrit:
Oui c'est ça, quoique la première "24 ≡ 6 (9)" je ne l'ai jamais vu

C'est pourtant celle qui semble privilégiée en Terminale S spé maths à l'heure actuelle. Je notais plutôt le modulo entre crochets, il a fallu que je m'adapte à la notation avec parenthèses.

SabanSuresh · #19

D'accord, merci pour le conseil, je ne savais pas qu'il y avait des notations privilégiées. De toute façon, j'ai encore deux ans avant la Terminale S ....

shadock · #20

MthS-MlndN a écrit:
shadock a écrit:
Oui c'est ça, quoique la première "24 ≡ 6 (9)" je ne l'ai jamais vu
C'est pourtant celle qui semble privilégiée en Terminale S spé maths à l'heure actuelle. Je notais plutôt le modulo entre crochets, il a fallu que je m'adapte à la notation avec parenthèses.

Ah, je ne savais pas, je ne l'ai jamais utilisé en spé maths, mais maintenant pour moi c'est CPGE et la terminale à côté...c'est une blague

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#1 - 17-05-2013 21:13:28

Curiosité mathématique 1 : Somme des chiffres d'un cubbe

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#2 - 17-05-2013 21:34:24

curiosité mathématique 1 : somme deq chiffres d'un cube

#3 - 17-05-2013 21:48:22

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Curiosité mathématique 1 : Sommme des chiffres d'un cube

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Curiosité mathématiqe 1 : Somme des chiffres d'un cube

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Curiosité mathématique 1 : Somme des chiffres d'u cube

#17 - 18-05-2013 19:46:39

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#18 - 19-05-2013 12:27:57

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#20 - 19-05-2013 14:10:47

Curiosité matéhmatique 1 : Somme des chiffres d'un cube

MthS-MlndN a écrit:

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