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#1 - 02-11-2010 21:16:46
- EfCeBa
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré aprfait
Un petit exercice trouvé sur un livre de mathématique pour terminale, il utilise les factorielles, il s'agit de prouver que [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = a^2[/latex] avec a entier.
#2 - 02-11-2010 21:39:49
- Yannek
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prouver qye (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Soit a=k²+5k+5. Alors [TeX]\frac{(k+4)!}{k!}=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1) =(k+4)(k+1)(k+3)(k+2) =(k^2+5k+4)(k^2+5k+6) =(a-1)(a+1)=a^2-1[/TeX] ce qui équivaut à [latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1=a^2[/latex]
#3 - 02-11-2010 21:50:10
- shadock
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Prouver que (k+4)!/k(!)+1 est un carré parfait
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#4 - 02-11-2010 21:53:32
- luthin
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Prouver que (k+4!)/(k!)+1 est un carré parfait
Amusant! ![smile](img/smilies/smile.png) [TeX]\begin{eqnarray} &\frac{(k+4)!}{k!}+1&=(k+1)(k+4)(k+2)(k+3) +1\\ & &=\left(k+\frac 52-\frac 32\right)\left(k+\frac 52+\frac 32\right)\left(k+\frac 52-\frac 12\right)\left(k+\frac 52 +\frac 12\right) +1\\ & &=\left((k+\frac 52)^2-(\frac 32)^2\right)\left((k+\frac 52)^2-(\frac 12)^2\right)+1 \\ & &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54-1\right)\left((k+\frac 52)^2-\frac 54 +1\right)+1\\ & &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54\right)^2 \\ & &=(k^2+5k+5)^2 \end{eqnarray}[/TeX] CQFD, merci.
#5 - 02-11-2010 21:55:29
- papiauche
- Sa Sainteté
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Prouver que (k+4)!/k(!)+1 est un carré parfait
[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24
k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24+1= (k(k+5)+5)^2[/TeX] Donc: [TeX]a = k(k+5)+5[/TeX] Et hop!
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#6 - 02-11-2010 22:08:48
- scarta
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré paarfait
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}[/latex] est le produit de 4 nombres consécutifs. On va poser k+3 = a (a-2)(a-1)(a)(a+1) +1 = a^4 -2a^3 -a^2 +2a + 1 Changement de variable a = b+1/2 b^4 -5b^2 / 2 +25/16 Formule de Ferrari (b^2+c)^2 -5b^2 / 2 +25/16 -2cb^2 -c^2 = (b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2
On veut (5/2 + 2c).b^2 -25/16 +c^2 carré ssi delta = -4*(c^2-25/16)(5/2+2c) = 0 donc c = 5/4 ou c = -5/4 (2 fois), mais cette valeur annule tout le polynôme. On prend donc c = 5/4, le polynôme vaut 5b^2
On reprend notre gros polynôme (b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2 = (b^2+5/4)^2 - (b.sqrt(5)) ^2 = (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0 si (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) = 0 ou si (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0 b^2 +/- b.sqrt(5) + 5/4 = 0 delta = 5-5 = 0 Une racine double dans les deux cas: +/- sqrt(5) / 2 Notre polynôme devient alors (b+sqrt(5)/2)^2 * (b-sqrt(5)/2)^2
On rechange notre variable b en a, b = a-1/2 [latex](a-\frac{1+\sqrt(5)}{2})^2.(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2})^2=\\ ((a-\frac{1+\sqrt(5)}{2}).(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2}))^2=\\ (a^2-a-1)^2[/TeX] C'est un carré, d'un nombre entier.
Pour répondre à l'énoncé donc, [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = (k^2+5k+5)^2[/latex]
Et voilà !!!
PS: je sais bien que niveau terminale, on aurait plutôt essayé de trouver des coefficients A, B et C tels que (Ax^2 + Bx + C)^2 soit égal à x^4 -2x^3 -x^2 +2x + 1 en identifiant les coefficients, mais bon voilà: pas envie :p :p :p
Edit : Ah mais suis-je bête !!! Ca tient en 3 lignes !!! (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+4) . (k+2)(k+3) = (k^2+5k+4) . (k^2+5k+6) = (Q-1)(Q+1) =Q^2-1 avec Q = k^2+5k+5
#7 - 02-11-2010 22:33:36
- scrablor
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré pparfait
C'est (k²+5k+5)². Étonnant non ?
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#8 - 02-11-2010 23:02:35
- franck9525
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prouver que (k+4)!/(k!)+1 est ub carré parfait
on décompose et on obtient: [TeX]=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 =[(k+4)(k+1)]\time[(k+2)(k+3)]+1 =(k^2+5k+4)\time(k^2+5k+6)+1[/TeX] or [latex] n(n+2)+1=(n+1)^2[/latex] ce qui donne [TeX](k^2+5k+4)(k^2+5k+6)+1=(k^2+5k+5)^2=a^2[/TeX]
The proof of the pudding is in the eating.
#9 - 02-11-2010 23:25:00
- supercab
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Prouvre que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Calculons tout simplement: [TeX] \frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+10 k^3 + 35 k^2 + 50 k + 25
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+(10 k^3+10k^2)+25k^2+50k+25
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2)^2+2*k^2*(5k+5) + (5k+5)^2
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2 + 5k + 5)^2 [/TeX] On a utiliser aux passages des lignes 3 à 4 et 4 à 5 l'identité remarquable: [TeX](a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 [/TeX]
#10 - 03-11-2010 02:11:36
- McFlambi
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Prouver qu e(k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Si ca peut etre un carre de [latex]a[/latex], c'est qu'il peut etre de la forme [latex]k^2+bk+c[/latex] comme ci dessous [TeX]\begin{array}{rl}\frac{(k+4) !}{k!}+1 & = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 \\ & = k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+25 \\ & =a^2 \\ & = (k^2+ b k+ c)^2 \\ & = k^4+ 2bk^3 + (2c+b^2)k^2 + 2bc k + c^2
\end{array}[/TeX] il semble donc que [latex]b=c=5[/latex] convient... c'est donc bien un carre, et ce carre est [TeX](k^2+5 k +5)^2[/TeX]
#11 - 03-11-2010 07:25:15
- Yanyan
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- Lieu: Lille si j'y suis
Prouver que (k+4)!/(k)!+1 est un carré parfait
[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=(k^2+3k+2)(k^2+7k+12)+1 =k^4+10k^3+35k^2+50k+25=(k^2+5k+5)^2[/TeX]
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#12 - 03-11-2010 10:03:03
- rivas
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- Lieu: Jacou
Prouver que (k+4)!//(k!)+1 est un carré parfait
#13 - 03-11-2010 11:21:01
- Fireblade
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Prouver que (k+4)!(/k!)+1 est un carré parfait
#14 - 03-11-2010 14:54:20
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré prfait
(k+4)!/k! + 1 = (k^2+5k+5)^2 soit a = k^2+5k+5
#15 - 03-11-2010 18:27:10
- gabrielduflot
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prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un czrré parfait
(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1=[latex](k^2+7k+12)(k^2+3k+2)+1[/latex]=[latex]k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex]
#16 - 04-11-2010 12:12:31
prouver que (k+4)!/(k!)+1 est yn carré parfait
En simplifiant on obtient : (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (a+1)(a-1) => [(k+1)(k+4)]*[(k+2)(k+3)] = (a+1)(a-1) [k^2 + 5k + 4] * [k^2 + 5k + 6] = (a+1)(a-1) => [(k^2 + 5k + 5) - 1] * [(k^2 + 5k + 5) +1] = (a+1)(a-1)
Donc a = k^2 + 5k + 5
#17 - 05-11-2010 10:40:29
- Milou_le_viking
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est nu carré parfait
Salut, [TeX]\frac{\left ( k+4 \right )!}{k!}+1\,\,\,avec\,k\in\mathbb{N} \\= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )\left ( k+4 \right )+1 \\= k^{4}+10k^{3}+35k^{2}+50k+25 \\= (k^{2}+5k+5)^{2} \\=a^{2} \\\Leftrightarrow \\a=(k^{2}+5k+5) \\\Rightarrow \\a\in \mathbb{Z} \\\Leftrightarrow \\a^{2}\in \left \{ ensemble\, des\, carres\, parfaits \right \} \\ \\ \\C.Q.F.D.[/TeX]
#18 - 06-11-2010 00:36:39
- shadock
- Elite de Prise2Tete
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfat
Je trouve que je m'en suis bien tiré j'ai trouvé la bonne réponse *sentiment de joie* Youpi!!! ![tongue](img/smilies/tongue.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#19 - 06-11-2010 15:04:57
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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- Lieu: Rouen
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est u ncarré parfait
Comment ai-je fait pour ne pas aller jusqu'au bout ? En plus, j'avais eu l'idée de rassembler (k+1)(k+4) d'un côté, et (k+2)(k+3) de l'autre, alors pourquoi ai-je eu la flemme de juste écrire ce que ça donnait, p**ain ? ![mad](img/smilies/mad.png)
(Je m'en veux à mort )
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#20 - 06-11-2010 16:38:32
- franck9525
- Elite de Prise2Tete
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- Lieu: 86310
proucer que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Y'a vraiment un truc que je pige pas...
Tantôt tu ponds des théories géniales parfaitement démontrées, claires, brillantes... Tantôt t'as même pas le niveau du boutonneux qui pose une question pour son DM...
The proof of the pudding is in the eating.
#21 - 06-11-2010 16:49:13
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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- Lieu: Rouen
prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un caeré parfait
Moi aussi, ça m'épate, d'être à la fois aussi brillant et aussi naze. Je n'ai jamais su choisir ![lol](img/smilies/lol.png)
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#22 - 06-11-2010 18:28:23
- engine
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Poruver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Merde j'étais pas si loin.
plouf
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