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#1 - 02-11-2010 21:16:46
- EfCeBa
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prpuver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Un petit exercice trouvé sur un livre de mathématique pour terminale, il utilise les factorielles, il s'agit de prouver que [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = a^2[/latex] avec a entier.
#2 - 02-11-2010 21:39:49
- Yannek
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prouver que (k+4)!/(k!)+1 est yn carré parfait
Soit a=k²+5k+5. Alors [TeX]\frac{(k+4)!}{k!}=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1) =(k+4)(k+1)(k+3)(k+2) =(k^2+5k+4)(k^2+5k+6) =(a-1)(a+1)=a^2-1[/TeX] ce qui équivaut à [latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1=a^2[/latex]
#3 - 02-11-2010 21:50:10
- shadock
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prouver que (k+4)!/(j!)+1 est un carré parfait
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#4 - 02-11-2010 21:53:32
- luthin
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prouver que (k+4)!/(j!)+1 est un carré parfait
Amusant! [TeX]\begin{eqnarray} &\frac{(k+4)!}{k!}+1&=(k+1)(k+4)(k+2)(k+3) +1\\ & &=\left(k+\frac 52-\frac 32\right)\left(k+\frac 52+\frac 32\right)\left(k+\frac 52-\frac 12\right)\left(k+\frac 52 +\frac 12\right) +1\\ & &=\left((k+\frac 52)^2-(\frac 32)^2\right)\left((k+\frac 52)^2-(\frac 12)^2\right)+1 \\ & &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54-1\right)\left((k+\frac 52)^2-\frac 54 +1\right)+1\\ & &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54\right)^2 \\ & &=(k^2+5k+5)^2 \end{eqnarray}[/TeX] CQFD, merci.
#5 - 02-11-2010 21:55:29
- papiauche
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peouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24
k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24+1= (k(k+5)+5)^2[/TeX] Donc: [TeX]a = k(k+5)+5[/TeX] Et hop!
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#6 - 02-11-2010 22:08:48
- scarta
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Prouver que (k+4))!/(k!)+1 est un carré parfait
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}[/latex] est le produit de 4 nombres consécutifs. On va poser k+3 = a (a-2)(a-1)(a)(a+1) +1 = a^4 -2a^3 -a^2 +2a + 1 Changement de variable a = b+1/2 b^4 -5b^2 / 2 +25/16 Formule de Ferrari (b^2+c)^2 -5b^2 / 2 +25/16 -2cb^2 -c^2 = (b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2
On veut (5/2 + 2c).b^2 -25/16 +c^2 carré ssi delta = -4*(c^2-25/16)(5/2+2c) = 0 donc c = 5/4 ou c = -5/4 (2 fois), mais cette valeur annule tout le polynôme. On prend donc c = 5/4, le polynôme vaut 5b^2
On reprend notre gros polynôme (b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2 = (b^2+5/4)^2 - (b.sqrt(5)) ^2 = (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0 si (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) = 0 ou si (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0 b^2 +/- b.sqrt(5) + 5/4 = 0 delta = 5-5 = 0 Une racine double dans les deux cas: +/- sqrt(5) / 2 Notre polynôme devient alors (b+sqrt(5)/2)^2 * (b-sqrt(5)/2)^2
On rechange notre variable b en a, b = a-1/2 [latex](a-\frac{1+\sqrt(5)}{2})^2.(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2})^2=\\ ((a-\frac{1+\sqrt(5)}{2}).(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2}))^2=\\ (a^2-a-1)^2[/TeX] C'est un carré, d'un nombre entier.
Pour répondre à l'énoncé donc, [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = (k^2+5k+5)^2[/latex]
Et voilà !!!
PS: je sais bien que niveau terminale, on aurait plutôt essayé de trouver des coefficients A, B et C tels que (Ax^2 + Bx + C)^2 soit égal à x^4 -2x^3 -x^2 +2x + 1 en identifiant les coefficients, mais bon voilà: pas envie :p :p :p
Edit : Ah mais suis-je bête !!! Ca tient en 3 lignes !!! (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+4) . (k+2)(k+3) = (k^2+5k+4) . (k^2+5k+6) = (Q-1)(Q+1) =Q^2-1 avec Q = k^2+5k+5
#7 - 02-11-2010 22:33:36
- scrablor
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Prouver uqe (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
C'est (k²+5k+5)². Étonnant non ?
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#8 - 02-11-2010 23:02:35
- franck9525
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Prouver que (k+4)!/k!)+1 est un carré parfait
on décompose et on obtient: [TeX]=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 =[(k+4)(k+1)]\time[(k+2)(k+3)]+1 =(k^2+5k+4)\time(k^2+5k+6)+1[/TeX] or [latex] n(n+2)+1=(n+1)^2[/latex] ce qui donne [TeX](k^2+5k+4)(k^2+5k+6)+1=(k^2+5k+5)^2=a^2[/TeX]
The proof of the pudding is in the eating.
#9 - 02-11-2010 23:25:00
- supercab
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Prouver que k(+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Calculons tout simplement: [TeX] \frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+10 k^3 + 35 k^2 + 50 k + 25
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+(10 k^3+10k^2)+25k^2+50k+25
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2)^2+2*k^2*(5k+5) + (5k+5)^2
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2 + 5k + 5)^2 [/TeX] On a utiliser aux passages des lignes 3 à 4 et 4 à 5 l'identité remarquable: [TeX](a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 [/TeX]
#10 - 03-11-2010 02:11:36
- McFlambi
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proucer que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Si ca peut etre un carre de [latex]a[/latex], c'est qu'il peut etre de la forme [latex]k^2+bk+c[/latex] comme ci dessous [TeX]\begin{array}{rl}\frac{(k+4) !}{k!}+1 & = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 \\ & = k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+25 \\ & =a^2 \\ & = (k^2+ b k+ c)^2 \\ & = k^4+ 2bk^3 + (2c+b^2)k^2 + 2bc k + c^2
\end{array}[/TeX] il semble donc que [latex]b=c=5[/latex] convient... c'est donc bien un carre, et ce carre est [TeX](k^2+5 k +5)^2[/TeX]
#11 - 03-11-2010 07:25:15
- Yanyan
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- Lieu: Lille si j'y suis
ptouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=(k^2+3k+2)(k^2+7k+12)+1 =k^4+10k^3+35k^2+50k+25=(k^2+5k+5)^2[/TeX]
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#12 - 03-11-2010 10:03:03
- rivas
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- Lieu: Jacou
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un arré parfait
#13 - 03-11-2010 11:21:01
- Fireblade
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfat
#14 - 03-11-2010 14:54:20
prouver que (k+4)!/(k!)+1 esy un carré parfait
(k+4)!/k! + 1 = (k^2+5k+5)^2 soit a = k^2+5k+5
#15 - 03-11-2010 18:27:10
- gabrielduflot
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré paarfait
(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1=[latex](k^2+7k+12)(k^2+3k+2)+1[/latex]=[latex]k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex]
#16 - 04-11-2010 12:12:31
Prouveer que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
En simplifiant on obtient : (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (a+1)(a-1) => [(k+1)(k+4)]*[(k+2)(k+3)] = (a+1)(a-1) [k^2 + 5k + 4] * [k^2 + 5k + 6] = (a+1)(a-1) => [(k^2 + 5k + 5) - 1] * [(k^2 + 5k + 5) +1] = (a+1)(a-1)
Donc a = k^2 + 5k + 5
#17 - 05-11-2010 10:40:29
- Milou_le_viking
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Prouver que (k+4)!/(k!)1+ est un carré parfait
Salut, [TeX]\frac{\left ( k+4 \right )!}{k!}+1\,\,\,avec\,k\in\mathbb{N} \\= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )\left ( k+4 \right )+1 \\= k^{4}+10k^{3}+35k^{2}+50k+25 \\= (k^{2}+5k+5)^{2} \\=a^{2} \\\Leftrightarrow \\a=(k^{2}+5k+5) \\\Rightarrow \\a\in \mathbb{Z} \\\Leftrightarrow \\a^{2}\in \left \{ ensemble\, des\, carres\, parfaits \right \} \\ \\ \\C.Q.F.D.[/TeX]
#18 - 06-11-2010 00:36:39
- shadock
- Elite de Prise2Tete
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Prouver que (k+4)!/(k!)++1 est un carré parfait
Je trouve que je m'en suis bien tiré j'ai trouvé la bonne réponse *sentiment de joie* Youpi!!!
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#19 - 06-11-2010 15:04:57
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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- Lieu: Rouen
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 estt un carré parfait
Comment ai-je fait pour ne pas aller jusqu'au bout ? En plus, j'avais eu l'idée de rassembler (k+1)(k+4) d'un côté, et (k+2)(k+3) de l'autre, alors pourquoi ai-je eu la flemme de juste écrire ce que ça donnait, p**ain ?
(Je m'en veux à mort )
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#20 - 06-11-2010 16:38:32
- franck9525
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Prouvre que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Y'a vraiment un truc que je pige pas...
Tantôt tu ponds des théories géniales parfaitement démontrées, claires, brillantes... Tantôt t'as même pas le niveau du boutonneux qui pose une question pour son DM...
The proof of the pudding is in the eating.
#21 - 06-11-2010 16:49:13
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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Prouver que (k+4))!/(k!)+1 est un carré parfait
Moi aussi, ça m'épate, d'être à la fois aussi brillant et aussi naze. Je n'ai jamais su choisir
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#22 - 06-11-2010 18:28:23
- engine
- Professionnel de Prise2Tete
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Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré pafrait
Merde j'étais pas si loin.
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