Je ne sais même pas comment répondre à ta question, je ne vois pas ce qui ne va pas...
Imagine qu'une urne contient contient une infinité de boules sur lesquelles est inscrit un nombre entier différent de tous les autres. Tu demandes à un pakistanais et à un finnois de tiré chacun leur tour une boule, quelle est la probabilité qu'ils avaient de choisir deux boules dont les nombres sont premiers entre-eux ?

J'ai un niveau de probabilité collège

6/pi² = 0.60792710

Edit :

Explication :

La probabilité qu'un nombre entier soit divisible par un nombre premier p est 1/p. La probabilité que deux nombres entiers soient divisibles par un nombre premier p est alors 1/p² et donc, la probabilité qu'au moins l'un des deux ne le soit pas est 1-1/p². La probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est donc donnée par le produit de tous les 1-1/p² (pour tout nombre premier p). Ce produit est égal à l'inverse du produit de tous les 1/(1-p^(-2)) qui est lui-même égal à l'inverse de l'image de 2 (car il y a deux nombres) de la fonction zêta de Riemann qui associe à tout x la somme de tous les 1/(n^x).  Or ζ(2) = pi²/6 donc la probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est de 6/pi².

Histoire :

En 1644, Pietro Mengoli énonce un problème très renommé dans la théorie des nombres :
Quelle est la valeur exacte de la somme de tous les 1/n² pour tout entier naturel n, c'est-à-dire que vaut exactement 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² ...
En 1735, alors que ce problème posait problème aux plus éminents mathématiciens de l'époque, le mathématicien suisse originaire de Bâle, Leonhard Euler, alors âgé seulement de 28 ans trouve la solution : pi²/6. Mais il n'y apporte pas une démonstration rigoureuse (comme moi d'ailleurs). Dès lors, le problème dit "Problème de Mengoli" devient le "Problème de Bâle".
En 1859, le mathématicien allemand Bernhard de Riemann reprend les idées d'Euler et définit la fonction zêta de Riemann qui pour tout x associe la somme de tous les 1/(n^x) pour tout entier naturel n.

Voilà.

P.S : Les prénoms d'Euler et Riemann s'écrivent Leonhard et Bernhard et non Léonard et Bernard comme on pourrait le croire. Ils sont hard, quoi !

6/pi², mais ça ne doit pas être très abordable cette démo...

Je veux dire que tirer deux entiers au hasard ne veut pas dire grand chose et même rien du tout . Tu peux par contre chercher la limite de la probabilité que deux entiers choisis dans {1;2;...;n} soient premiers entre eux quand n tend vers l'infini .

Il y a quelques petites subtilités auxquelles il faut faire très attention quand on joue avec l'infini

Vasimolo

D'accord @Vasimolo j'y penserai la prochaine fois mais par rapport au probas c'est très peu probable ^^
Et @Gwen même si tu ne suis pas le calcul en lui même tu es largement (de ce que j'ai vu de toi sur le forum) capable de comprendre le raisonnement de départ après le "gros calcul" du produit personne ne va le démontrer, c'est déjà fait

Oui c'est ça @nogdim

La probabilité qu'un entier soit divisible par un premier p est de: 1/p.
La probabilité que deux entiers soient divisibles par un premier p est de: 1/p².
La probabilité qu'un des deux ne le soit pas est de: 1-1/p².
La probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est donc de:
X = Produit [1-1/p²] = Produit [(p²-1)/p²] = 1 / Produit [p²/(p²-1)],
ce qui donne, d’après ton indice: X = 1 / Somme [1/n²],
ce qui est un résultat connu, obtenu grâce à la formule de Parseval appliquée à une fonction bien choisie, soit: X = 1 / [pi² / 6] = 6 / pi²
X = 6 / pi² = 0.60792710 env.

Je suis d'ailleurs très étonné par la formule donnée par ton indice, car elle relie un produit comprenant tous les premiers avec une somme indépendante de premiers.

Impossible d'utiliser les balises LaTeX pour le moment je posterai la solution entièrement détaillée quand ça marchera !

[latex]\frac{1}{p^2}[/latex]

donne : [latex]\frac{1}{p^2}[/latex]

@emmaenne pourtant la solution est simple Je tiens à préciser que mon post #18 réponds juste à l'interrogation de Franky ^^

Bonjour.l
La formule utilise l'inverse des carrés de tous les nombres. Or dans ce problème, on ne doit prendre on compte que l'inverse des carrés des nombres premiers. Car si par exemple, deux nombres ne sont pas tous deux divisibles par 2, il est évident qu'ils ne sont pas tous deux divisibles par 4, ni par 6, etc.
La probabilité que deux nombres soit premiers entre eux est strictement égale à la probabilité qu'un nombre soit "monocomposé", c'est-à-dire qu'il n'admette pas plus d'une fois un même nombre premier dans sa décomposition en facteurs. Par exemple, 12 n'est pas "monocomposé", car 12 = 2x2x3, où 2 est repris deux fois.

[Ce qui m’intéresse dans cette énigme
(sauf erreur de ma part ... et merci de me corriger)
c'est précisément qu'il est impossible de "tirer" un nombre entier au hasard
...
(bruits de pas qui s'éloignent)]