Enigme Puissance de 2 et carrés (version dure) @ Prise2Tete

Yanyan · #1

Voici une version poussée de Puissance de 2 et carrés .

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :

$2^n=7a^2+b^2$ avec a et b impairs.

Bon courage.

Yanyan · #2

Oubliez si vous voulez la condition d'imparité.

esereth · #3

Bonsoir,

Si on oublie la condition $a$ et $b$ impairs, ça devient très simple.

Si $2^n=7a^2+b^2$ , alors $2^{(n+2)}=7(2a)^2+(2b)^2$ par une simple multiplication par 4.

C'est un moteur de récurrence qui demande une double initialisation : $n=3$ et $n=4$ qui est acquise.
En effet, $2^3 = 7 \times 1^2 + 1^2$ et $2^4=7\times1^2+ 3^2$ .

Il est trop tard pour que je poursuive mes recherches sur le cas $a$ et $b$ impairs.

Thérèse

gwen27 · #4

En oubliant la condition de parité, le problème devient très simple :

Pour les puissances impaires de 2 :

2^n = 8 x 2^(n-3) = 7 x 2^(n-3) + 2^(n-3) a=b = 2^[(n-3)/2]

Pour les puissances paires de 2 :

2^n = 16 x 2^(n-4) = 7 x 2^(n-4) + 9 x 2^(n-4)
a=2^[(n-4)/2] et b= 3 x 2^[(n-4)/2]

Edit : ou même, encore plus simple a=0 b=2^(n/2)

D'ailleurs, si a et b peuvent être pairs, cela marche dès 2^2 :

2^2 = 4 = 0 + 4 : a=0 b=2
2^3 = 8 = 7 + 1 : a=b=1
2^4 = 16 = 7 + 9 : a=1 b=3
2^5 = 32 = 28 + 4 : a=2 b=1
2^6 = 64 = 63 + 1 : a=3 b=1
2^7 = 128 = 28 + 100 : a=2 b=10

halloduda · #5

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :
avec a et b impairs.

Pourquoi ≥8 ?
Ça marche pour tout n≥3.

8=7x1²+1²
16=7x1²+3²
32=7x1²+5²
64=7x3²+1²
128=7x1²+11²

On a vu dans un problème précédent que

pour tout entier naturel n on peut trouver un nombre b tel que 7 divise
$2^n-b^2$

Maintenant on se restreint à un quotient carré a², donc positif.

C'était esquissé dans la réponse de Mathias.

Yanyan · #6

halloduda quand je parle de la puissance de 2 supérieure à 8 c'est du nombre pas de l'exposant.

Pour l'imparité il faut considérer deux solutions formelles dont on sait qu'au moins l'un est un couple impair, j'avoue c'est dur.

scarta · #7

Sans la condition d'imparité, c'est assez simple (p est un entier naturel)

Si n est impair, il vaut 2p+3. Dans ce cas a=b=2^p
En effet, 7.2^2p + 2^2p = 8.2^2p = 2^(2p+3)

Si n est impair, il vaut 2p+4. Dans ce cas, a=2^p et b=3.2^p
En effet, 7.2^2p + (3.2^p)^2 = 7.2^2p + 9.2^2^= 16.2^2p = 2^(2p+4)

Yanyan · #8

Soient $(a_n,b_n)$ un couple de solutions de $7a_n^2+b_n=2^n$ . Alors posons

$(A=\frac{a_n+b_n}{2},B=\frac{|7a_n-b_n|}{2})$ et $(A=\frac{|a_n-b_n|}{2},B=\frac{7a_n+b_n}{2})$ alors dans les deux cas

$7A^2+B^2=2^{n+1}$ et l'un des deux couples est impairs.

Je vous laisse vérifier les détails, n'hésitez pas à poser des questions.

Bravo à tous.

scarta · #9

Chapeau !

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