Bonsoir,

Si on oublie la condition [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] impairs, ça devient  très simple.


Si [latex]2^n=7a^2+b^2[/latex], alors [latex]2^{(n+2)}=7(2a)^2+(2b)^2[/latex] par une simple multiplication par 4.

C'est un moteur de récurrence qui demande une double initialisation : [latex] n=3[/latex] et [latex]n=4[/latex] qui est acquise.
En effet, [latex] 2^3 = 7 \times 1^2 + 1^2[/latex] et [latex]2^4=7\times1^2+ 3^2[/latex].

Il est trop tard pour que je poursuive mes recherches sur le cas [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] impairs.

Thérèse

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :
avec a et b impairs.

Pourquoi ≥8 ?
Ça marche pour tout n≥3.

8=7x1²+1²
16=7x1²+3²
32=7x1²+5²
64=7x3²+1²
128=7x1²+11²

On a vu dans un problème précédent que

pour tout entier naturel n on peut trouver un nombre b tel que 7 divise
[latex]2^n-b^2[/latex]

Maintenant on se restreint à un quotient carré a², donc positif.

C'était esquissé dans la réponse de Mathias.

Sans la condition d'imparité, c'est assez simple (p est un entier naturel)

Si n est impair, il vaut 2p+3. Dans ce cas a=b=2^p
En effet, 7.2^2p + 2^2p = 8.2^2p = 2^(2p+3)

Si n est impair, il vaut 2p+4. Dans ce cas, a=2^p et b=3.2^p
En effet, 7.2^2p + (3.2^p)^2 = 7.2^2p + 9.2^2^= 16.2^2p = 2^(2p+4)

Chapeau !