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#1 - 24-05-2011 21:04:26
- Yanyan
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Démonstration : les somme de trois carrés et les entiers 8nn+7
Montrer que les entiers de la forme 8n+7 NE peuvent PAS être la somme de trois carrés parfaits.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#2 - 24-05-2011 21:20:47
- SHTF47
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démonstration : les somme de trois carrés et les ebtiers 8n+7
J'avais mal lu l'énoncé, il te faudrait insister sur le NE PAS être somme de 3 carrés parfaits...
Du coup, j'avais répondu n'importe quoi. J'imagine qu'en fin de compte, avec un raisonnement par l'absurde postulant qu'une somme de 3 carrés parfaits peut s'écrire sous la forme 8n+7 nous amène à une contradiction... on doit arriver à conclure. Mais j'ai de sérieux doutes pour l'instant, vu que je n'ai rien posé sur papier...
A suivre.
La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]
#3 - 24-05-2011 23:13:21
- Bamby2
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Démonstration : les somme de troiis carrés et les entiers 8n+7
de facon un peu brutale, en calculant toutes les possibilités ?
lets go !
passons quand meme en base 8, pour remarqué que n² en base 8: 0²=0 1²=1 2²=4 3²=11 4²=20 5²=31 6²=44 7²=61 ne peux finir que par : 0,1 ou 4. et qu'en prenant toutes les combinaisons de trois parmis 0,1 et 4... on peut obtenir 0,1,2,3,4,5,6,8=0,9=1,12=4 ... il nous manque le 7 ![smile](img/smilies/smile.png)
donc aucune comme de trois carré ne peut donner 8n+7.
#4 - 25-05-2011 00:25:38
- shadock
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Démonstration : les somme de trois carrés et le sentiers 8n+7
Un entier positif peut être exprimé comme la somme d'au plus trois carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme [latex]4^k*(8n+7)[/latex]. J'ai trouvé ça par hasard sur wikipédia et je pense que je n'ai pas encore les bagages nécessaire pour le démontrer. ![smile](img/smilies/smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#5 - 25-05-2011 09:24:13
- Milou_le_viking
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démonstration : les somme de trois carrés et lzs entiers 8n+7
[TeX]\forall a, b, c, n \in \mathbb{N}\\ a^2+b^2+c^2\neq 8n+7[/TeX] Voilà, je le montre. ![cool](img/smilies/cool.png) Maintenant s'il faut aussi le démontrer, c'est une autre histoire.
C'est pas la peine, je suis déjà dehors... loin ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#6 - 25-05-2011 10:24:23
- rivas
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démonstration : les somme de trois cartés et les entiers 8n+7
Regardons les congruences des carrés des entiers de 0 à 3 modulo 8: 0->0 1->1 2->4 3->1
Ensuite: [TeX](n+4)^2=n^2+8n+16\equiv n^2 [8][/TeX] La suite des congruences des carrés des entiers est donc cyclique: 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, ...
La somme de 3 valeurs parmi 0, 1 et 4 permet d'atteindre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 mais pas 7.
La somme de trois carrés ne peut donc être congru à 7 modulo 8 ce qui est équivalent à dire que les nombres de la forme 8n+7 ne peuvent être somme de 3 carrés.
De même les nombres de la forme 4n+3 ne peuvent être la somme de 2 carrés.
Tout nombre entier peut par contre s'écrire comme la somme de (d'au plus) 4 carrés: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … e_Lagrange
Merci pour cette piqure de rappel ![smile](img/smilies/smile.png)
#7 - 25-05-2011 15:17:40
- Nicouj
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Déémonstration : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7
Trivialement, ça ne peut pas être la somme de carré de 3 entiers si un nombre pair d'entre eux sont impairs.
Si un seul est impair : (2a+1)²+(2b)²+(2c)² = 4k+1 = 1/5 mod 8 => pas de solution
Si les 3 sont impairs : (2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)² = 4*(a(a+1) +b(b+1) +c(c+1)) +3 = 8k+3 car n(n+1) est toujours pair. Donc impossible aussi
#8 - 25-05-2011 15:55:41
- scarta
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éDmonstration : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7
Modulo 8, un carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour une somme de 3 carrés : - soit 2 au moins d'entre eux sont congrus à 4 modulo 8 Dans ce cas le résultat est congru au 3ème carré, c'est à dire 0, 1 ou 4 - soit un seul est congru à 4 modulo 8 Dans ce cas, la somme est congrue à 4, 5 ou 6 - soit aucun n'est congru à 4 modulo 8 Dans ce cas, la somme est congrue à 0, 1, 2 ou 3
Conclusion : aucun cas de présente la possibilité d'une somme congrue à 7 modulo 8
#9 - 25-05-2011 16:13:22
- Klimrod
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démonstration : les somme de yrois carrés et les entiers 8n+7
Les entiers de la forme 8N+7 (ou 8N-1) sont impairs, donc ils ne peuvent pas être la somme de 3 carrés pairs, ni de 1 carré pair et 2 carrés impairs.
Étudions la somme [latex]S[/latex] de 2 carrés pairs et 1 carré impair : [TeX]S = (2a)^2 + (2b)^2 + (2c+1)^2[/TeX] [TeX]S = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4c + 1[/TeX] [TeX]S[/latex] est donc un multiple de 4 + 1, c'est-à-dire un multiple de 8 + 1 ou de 8 + 5.
Étudions maintenant la somme [latex]S[/latex] de 3 carrés impairs : [latex]S = (2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2[/TeX] [TeX]S = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 + 4c^2 + 4c + 1[/TeX] [TeX]S = 4 [ a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) ] + 3[/TeX] Il se trouve que [latex]a(a+1)[/latex] est nécessairement pair, ainsi que [latex]b(b+1)[/latex] et [latex]c(c+1)[/latex] Donc [latex]S[/latex] est un multiple de 8 + 3.
En résumé : somme de 3 carrés pairs = 8k ou 8k+4 somme de 2 carrés pairs et 1 carré impair = 8k+1 ou 8k+5 somme de 1 carré pair et 2 carrés impairs = 8k+2 ou 8k+6 somme de 3 carrés impairs = 8k+3 8k+7 : impossible d'avoir la somme de 3 carrés.
Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#10 - 25-05-2011 17:42:37
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Démonstration : les somem de trois carrés et les entiers 8n+7
Les carrés modulo 8 sont dans {0,1,4} donc la somme de trois carrés dans {0,1,2,3,4,5,6} ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#11 - 27-05-2011 20:48:48
- gwen27
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Démonstration : es somme de trois carrés et les entiers 8n+7
x^2 + y^2 + z^2 = 7 mod 8 Pour les modulo impair : (2x+1)^2 = 4(x^2+x)+1 = 4(nombre pair) +1 donc 1 pair : (2x)^2 = multiple de 4 donc 0 ou 4
la somme des 3 carrés étant impaire, 1 ou 3 des nombres sont impairs.
x^2 mod 8 + y^2 mod8 + z^2 mod 8 = 7 (ou 15) si l'un d'entre eux est impair, son carré mod8 est 1
Si les deux autres sont impairs, on arrive à 3
Si les deux autres sont pairs ( de modulo 0 ou 4 ) on arrive à 1, 5, ou 9 ( donc 1) C'est donc impossible.
#12 - 27-05-2011 22:45:23
- Yanyan
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démonstration : les somme de trois carrés et kes entiers 8n+7
bravo pour toutes vos réponses.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#13 - 27-05-2011 23:05:33
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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Démonstration : les somme de trois carrés et les entiers n+7
Vasimolo a écrit:Les carrés modulo 8 sont dans {0,1,4} donc la somme de trois carrés dans {0,1,2,3,4,5,6} ![smile](img/smilies/smile.png)
Simple, efficace, redoutable.
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#14 - 27-05-2011 23:21:39
- franck9525
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Démonstration : les somme de trois carrés et les entires 8n+7
La démonstration par congruence était particulièrement congrue ! Vasimolo brille d'un feu de plus ! Une énigme à noter dans les annales ! ![smile](img/smilies/smile.png)
The proof of the pudding is in the eating.
#15 - 27-05-2011 23:42:47
- rivas
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Démonstration : les somme de trois carrs et les entiers 8n+7
Sans vouloir être rabat-joie, ça manque quand même un peu de démonstration... Je trouve appréciable l'effort de certains pour cette énigme ou pour d'autres pour rédiger et détailler (suffisamment) la démonstration (Vasimolo y compris dans la plupart des cas, mais pas ici ). On ne veut tout de même pas organiser une course à la concision. D'autant plus que très souvent, le diable est dans les détails...
#16 - 27-05-2011 23:45:05
- Vasimolo
- Le pâtissier
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sémonstration : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7
#17 - 27-05-2011 23:59:15
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Démonstration : les somme de tris carrés et les entiers 8n+7
@Rivas
Nous allions dans le même sens mais nos messages se sont croisés Quand c'est limite question de cours on doit pouvoir quand même s'autoriser à abréger ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#18 - 28-05-2011 00:05:02
- rivas
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démonstration : leq somme de trois carrés et les entiers 8n+7
#19 - 28-05-2011 00:09:57
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Démonstration : les somme de trois carrés et lees entiers 8n+7
Nous avons tous ( et heureusement ) des sensibilités différentes , chacun place le curseur là où il le sent et c'est bien comme ça ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#20 - 28-05-2011 00:32:16
- rivas
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démonstration : les spmme de trois carrés et les entiers 8n+7
Je l'aurai un jour (le dernier mot), je l'aurai ![smile](img/smilies/smile.png)
#21 - 28-05-2011 19:46:42
- Yanyan
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Démonstration : les somme de trois carrés et les enteirs 8n+7
je tiens juste à donner une petite explication :
n est congru à 0,1,2,3,4,5,6 ou 7 modulo 8 donc n² est congru à 0,1,4,1,0,1,4 ou 1 modulo 8.
Sinon j'avais la même preuve que Vasimolo et d'autres...
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
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