Sophie Germain a écrit:

n^4+4m^4 = (n²+2m²+2mn)(n²+2m²-2mn)

Donc n^4+4 = (n²+2n+2)(n²-2n+2)
Si n=0, 4 n'est pas premier.
Si n=1, 5 est premier.
Si n>1, les deux facteurs de la factorisation sont au moins égaux à 2, donc le nombre est composé...
Il n'y a donc qu'une solution

En suivant ta piste, je peux peut-être écrire :
$$n^4 + 4 = (n^2+2)^2 - (2n)^2 = (n^2 - 2n +2)(n^2+2n+2)$$
Auquel cas, si je ne me suis pas trompé, il faut que l'un des deux facteurs vaille 1 pour que le nombre puisse être premier. $n^2+2n+2$ vaut au moins 2, et
$$n^2 - 2n+2=1 \Rightarrow n=1$$
Donc seul n=1 est solution, il semblerait...

Salut à tous,
Je poste ici car je pense avoir la réponse à ta question :


n^4+4 = (n²)²+2² = (n²)²+2²-4n²+4n² = (n²+2)²-4n² = (n²+2n+2)(n²-2n+2)
Pour n entier différent de 0, les deux membres du produit sont strictement positifs

1er cas : n=1 --> 1^4+4=5   PREMIER
2e cas : n différend de 1 --> Les deux termes du produits sont tous les deux entiers strictement supérieur à 1. Il existe donc au minimum 4 diviseurs à n^4+4, à savoir : 1 ; n^4+4 ; (n²+2n+2) ; (n²-2n+2)
Donc pour n supérieur à 1 , n^4+4 n'est pas premier

En conclusion : il existe un et un seul n tel que n^4+4 est premier : c'est n=1