Faut quand même une disposition d'esprit particulière pour trouver ton titre racoleur.
J'avoue, ça m'a racolé.

Je ne comprends pas bien l'exercice.
Si z=x+iy, on cherche x^2+y^2=p sans conditions sur x et y (comme par exemple entiers).
Il y a donc un infinité de solutions?

Je dois rater un truc énorme.

z=a+ib
z'=a-ib
z.z'=a^2+b^2=p

Zut, dire que je m'étais planté de signe la première fois... Honte sur moi.

Bon ben, hop :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _de_Fermat

Je ne chipote pas, il manque la moitié de l'énoncé sans lequel il n'a pas vraiment de sens

On pose p un nombre premier, et z un entier de Gauss qu'on écrira [latex]z=r.e^{i\theta}[/latex]
Dans ce cas, z.z' = r^2 = p
Le module d'un nombre complexe de la forme a+ib vaut [latex]\sqrt{a^2+b^2}[/latex]

Du coup, p = a^2+b^2. Le théorème des 2 carrés de Fermat nous indique alors que pour remplir une telle condition, on doit avoir p=1[4] et de plus il n'y a qu'une seule telle somme de carrés.

Donc si p=3[4], il n'y a pas de solution; et si p=1[4] il y en a 2: a+/-ib et b+/-ia avec a et b tels que p=a^2+b^2

N'oubliez pas d'aller jeter un oeil au volume 2