Salut,
Si Fermat l'a dit, on peut le croire...

C’est le théorème des deux carrés de Fermat. Un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4. Si un entier est somme de deux carrés, il sera donc congru à 0, 1 ou 2 modulo 4. Or un entier premier impair ne peut être congru ni à 0 ni à 2 (car il serait alors divisible par 2). Il s'ensuit qu'un entier premier impair, somme de deux carrés d'entiers est congru à 1 modulo 4.

salut.

l'hypothénus  mesurant  a = 4n+1 , le côté intermédiaire  b = 4n

le carré du petit côté mesure donc :
[TeX]c^2 = (4n + 1)^2 - 16n^2[/TeX]
alors:
[TeX]c =\sqrt{8n + 1}[/TeX]
et comme tous les nombres premiers >3  possèdent un carré de la forme :
[TeX]p^2 = 24k + 1[/TeX]
alors , pour  n = 3k  ,
[TeX]p^2 = 8n + 1[/TeX]
qui est le carré du petit côté.

Theoreme des deux carrés de Fermat (version complète) : soit N un nombre > 1, D1 le nombre de diviseurs de N congrus à 1 modulo 4, et D3 pour ceux congrus à 3, alors N peut être la somme de deux carrés ssi D1 > D3.
Il existe par ailleurs 4(D1-D3) écritures différentes.

Application ici : N premier, donc D1 = 2 et D3 = 0 (1 et N sont les seuls diviseurs).
Mais où sont mes 8 représentations ?
Réponse: on peut trouver A et B positifs tels que A²+B² = N, et les 8 représentations sont : A²+B², B²+A², (-A)²+B², B²+(-A)², A²+(-B)², (-B)²+A², (-A)²+(-B)², (-B)²+(-A)²

Donc en réalité, un seul triangle (les côtés négatifs / le symétrique ==> on oublie).
Et les 8 représentations ne sont pas inutiles : pour un triangle, oui ça l'est. Mais si par contre la question est : "quels sont les points d'un cercle de rayon N et de centre O qui ont des coordonnées entières ?", alors la réponse est 8 et les coordonnées sont ci-dessus.

Vous êtes tous amis avec Bell donc! J'apprends des trucs en plus dans vos réponses