Enigme Mathématiques pour les nuls 10 @ Prise2Tete

shadock · #1

Aujourd'hui je me suis fais le plaisir de participer au concours général de mathématiques. Je suis cependant resté coi devant l'exercice numéro 2 dont je vous livre d'énoncé :

Une suite majoritairement décroissante :
Soit [latex](U_n)_{n \geqslant 0}[/latex] une suite de nombre réels positifs telle que [latex]U_0=1[/latex], pour tout entier [latex]n \geqslant 1[/latex], au moins la moitié des termes [latex]U_0, U_1, ... ,U_{n-1}[/latex] soient supérieurs ou égaux à [latex]2*U_n[/latex].
Montrer que [latex]U_n[/latex] tend vers 0.

Voilà s'il y en a qui veulent s'amuser un peu, en attendant la correction du concours.

Shadock

docbabar · #2

bonjour,
moi pas parler ta langue donc moi pas pouvoir aider toi, désolé

w9Lyl6n · #3

Fixons un n,
on va montrer que U_n est plus petit que U_0 / 2^[log2 n] <= 2*U_0/n
"[x]" désigne la partie entière de x.

D'après l'énoncé, il existe [(n+1)/2] termes U_k,
tels que 0<= k<n et tels que U_n <= U_k / 2.

Comme on a [(n+1)/2] entiers k distincts, il ne peuvent tous être dans {0,1,2...,[n/2]-1}, il en existe donc au moins un tel que k0>=[n/2] et U_n <= U_k0 / 2

On continue ce procédé temps que les k trouvé sont différent de 0, on trouve ainsi k0,k1,k2,...ki où U_n <= U_ki / 2^i

Combien de k peut on trouver avant d'arriver à k=0 ? Autant de fois que l'on peut diviser n par 2 c'est à dire au moins [log2 n] fois!

On retrouve donc le résultat U_n <= U_k[log2 n] /2^[log2 n] <= 2*U_0 / n
(U_n) tend bien vers 0.

PS: il n'y a que chez moi que les formules latex s'affiche sous forme de script brut?

shadock · #4

Waouhou c'est vachement cours comme démo je pensais que ça prendrais plus de place ^^
Par contre pourquoi montrer que [latex]U_n[/latex] est plus petit que [latex]U_0 / 2^{log2 n} \leqslant 2*U_0/n[/latex] ?

Shadock

w9Lyl6n · #5

A tient, les formules latex s'affichent correctement !

En fait ce n'est pas log2(n) mais sa partie entière. On a: [latex]log2(n)-1 \leqslant [log2(n)] [/latex] d'où le résultat : [latex]U_n \leqslant U_0 / 2^{[log2 n]} \leqslant 2*U_0/n [/latex] qui tend vers 0

shadock · #6

A oui OK merci

Shadock

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