Evidemment, avec le calcul de dérivée on trouve immédiatement : [latex][0;\frac8{27}][/latex].
On va essayer sans les dérivées

Minimum
En factorisant par [latex]xyz[/latex] (pour x,y,z non nuls), on trouve :
[TeX]D(x,y,z)=xyz(\frac1x+\frac1y+\frac1z-1)[/TeX]
Comme [latex]x,y,z[/latex] sont tous les trois inférieurs à 1, [latex]\frac1x+\frac1y+\frac1z \ge 3[/latex], et :
[TeX]D(x,y,z) \ge 2xyz \ge 0[/latex] : 0 est donc un inf (la formule reste vraie pour des x,y,z pouvant s'annuler)
Et comme D(0,0,1) = 0, 0 est un inf atteint: c'est un minimum

Maximum
On va prendre [latex]x \ge y \ge z[/TeX]
Les 3 ne peuvent pas être tous strictement supérieurs (ou inférieurs) à [latex]\frac13[/latex], donc il y a 3 cas :

1/ Si je suppose que [latex]y=\frac13,x=\frac13-t,z=\frac13+t[/latex]
alors [latex]D(x,y,z)=\frac13(\frac13-x)+\frac13(\frac13+x)+(\frac13-x)(\frac13+x)-\frac13(\frac13-x)(\frac13+x)
D(x,y,z)=\frac8{27}-\frac{2x^2}3[/latex]
On en déduit [latex]D(x,y,z) \le \frac8{27}[/latex] avec égalité pour [latex]x=\frac13[/latex]

2/ [latex]y = \frac13-u, x=\frac13-v, z=\frac13+u+v[/latex] avec u,v positifs
Après un développement un peu fastidieux, on trouve :
[TeX]D(x,y,z)=\frac8{27}-\left (\frac{2u^2}3+\frac{2v^2}3+\frac{2uv}3+uv(u+v) \right )[/TeX]
On voit bien que [latex]D(x,y,z) \le \frac8{27}[/latex]

3/ [latex]y=\frac13+u, x=\frac13-v,z=\frac13+v-u[/latex] avec u,v positifs
On peut se ramener au cas [latex]y=\frac13+u, x=\frac13-v-u,z=\frac13+v[/latex]
Du fait du rôle symétrique des variables ici, cela revient à la formule précédente avec -u et -v à la place de u et v :
[TeX]D(x,y,z)=\frac8{27}-\left (\frac{2u^2}3+\frac{2v^2}3+\frac{2uv}3-uv(u+v) \right )[/TeX]
En factorisant ce qu'il faut :
[TeX]D(x,y,z)=\frac8{27}-\left (u^2(\frac23-v)+v^2(\frac23-u)+\frac{2uv}3 \right )[/TeX]
On a bien u et v positifs, [latex]u \le \frac23[/latex] et [latex]v \le \frac23[/latex] car [latex]1 \ge y=\frac13+u, x=\frac13-v-u, [/latex] et [latex]1 \ge z=\frac13+v[/latex], donc  [latex]D(x,y,z) \le \frac8{27}[/latex]

Dans tous les cas, on a bien [latex]D \le \frac8{27}[/latex], avec égalité pour [latex]x=y=z=\frac13[/latex]

Vu la symétrie du problème, on cherche une expression symétrique elle aussi nous donnant une meilleure vision du problème.
Appellons V la valeur que l'on cherche: V=xy+yz+zx-xyz
Après avoir essayé de diviser par xyz (qui donne 1/x+1/y+1/z-1) ou essayé (x+1)(y+1)(z+1), il s'avère que la bonne approche est de regarder:
(x-1)(y-1)(z-1)=(x-1)(yz-y-z+1)=xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1=-V+x+y+z-1=-V (car x+y+z=1).
On a donc V=-(x-1)(y-1)(z-1). Or x-1=y+z, y-1=x+z, ...
On a donc V=(y+z)(x+z)(x+y).
Et là c'est gagné
En effet y+z, x+z et x+y sont 3 nombres positifs au sens large donc la somme est constante (elle vaut 2(x+y+z)=2).
L'inégalité isopérimétrique (une de mes préférées) permet de conclure que le maximum est atteint lorsque ces 3 nombres sont égaux et valent donc dans notre cas 2/3 (puisque leur somme vaut 2).
V vaut donc au maximum (2/3)^3=8/27.
Le minimum est immédiat: c'est 0 si on choisit par exemple x=1, y=z=0 (non négatifs dit l'énoncé).

La réponse est donc 0 et 8/27, ce qui est validé par la case réponse.

Merci shadock pour ce petit exercice sympa.
Ca rappelle de bons souvenirs mais je dois dire qu'avec le recul, je trouve ca plus facile qu'à l'époque.
Bon ski.

Le minimum est évidemment 0.
Le maximum est obtenu pour [latex]x=y=z=\frac 1 3[/latex]
C'est [latex]3*\frac13-\frac 1{3^3}=\frac8{27}\approx0.296[/latex]

Pour le min, comme x,y et z sont positifs et de somme 1, ils sont tous membre de l'intervalle [0,1].
Donc xyz <= xy, xyz<=yz et xyz <= xz.
Donc xy+yz+xz-xyz >= 0. Or la valeur 0 est atteinte avec par exemple x=1,y=0 et z=0.

Wolfram confirme.

On sent bien que ça doit être x=y=z=1/3 pour le max et Wolfram confirme aussi et donne 0.296296 mais ni 0.2962 ni 0.2963 ne valident ??

Bon, c'est vrai que l'indice aide un peu, en effet, en posant
    D=(1-x)(1-a)(1-b)
   (ce qui n'est pas du tout une idée du niveau "maths pour les nuls")

Puis en développant et en identifiant on trouve, avec a=y et b=z,
   D=(1-x)(1-y)(1-z).

Vu comme ça, D exprime le volume d'un parallélépipède rectangle dont la somme des côtés est fixe. C'est le cube qui maximise ce volume, donc x=y=z=1/3.

Le minimum est 0 pour (0;0;1)
Le maximum est (2/3)^3 pour (1/3;1/3;1/3)

x+y+z=1
z=1-x-y avec x et y entre 0 et 1
D=(x-1)(y-1)(x+y) puis Wolfram

Après ton indice, je me rends compte qu'il y a effectivement une démonstration plus simple que celle que j'ai déjà postée plus haut :

On remarque que :
[TeX]D(x,y,z)=(1-x)(1-y)(1-z)[/TeX]
On voit donc immédiatement que [latex]D \ge 0[/latex]
On va utiliser les comparaisons entre moyennes : moyenne arithmétique A(a,b,c), et moyenne géomtrique G(a,b,c)
[TeX]A(a,b,c) = \frac{a+b+c}3
G(a,b,c) = \sqrt[3]{abc}[/TeX]
On sait que [latex]G(a,b,c) \le A(a,b,c)[/latex] avec égalité lorsque a=b=c
On utilise ceci pour :
[TeX]a=1-x
b=1-y
c=1-z[/TeX][TeX]A(a,b,c)=\frac{1-x+1-y+1-z}3=\frac{3-(x+y+z)}3=\frac23[/TeX]
d'où [latex]\sqrt[3]{D(x,y,z)} \le \frac23[/latex]
donc [latex]D(x,y,z) \le (\frac23)^3 = \frac8{27}[/latex]
Et comme on a [latex]D(\frac13,\frac13,\frac13) = \frac8{27}[/latex], alors c'est un maximum

Shadock : tu aurais une justification de l'affirmation "D est maximale quand ces facteurs sont égaux" sans passer par les dérivées ou c'est considéré comme "évident" ? J'ai proposé de passer par un volume, car je considère évident que c'est le cube qui optimise le volume à somme des côtés constants, mais j'avoue que je n'ai pas justifié plus que ça...

J'en suis persuadé

Le problème général a l'air coton : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … 3%A9trique

sinon, ce qu'a écrit Looping bouche le trou...

ou alors invoquer un résultat "tout prêt" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne#Co … 3.A9dentes

@Looping : tu as fait le plus gros du boulot en le bouchant

shadock a écrit:

PS je trouve cette page très instructive Groupe des classes d'idéaux

Juste les 2 lignes de résumé suffisent pour se marrer toute la nuit :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9com … _Frobenius