Bravo !!
Il faudrait justifier la formule qui donne [latex]\varphi[/latex] si possible

D'après une histoire d'équilibre des forces, et de poussée d'Archimède,
(et surtout d'après wikipedia (qu'est ce que je ferais sans lui ?) ) on a :

Si [latex]V[/latex] est le volume d'un solide qui flotte dans l'eau, si [latex]V_i[/latex] est le volume immergé du solide, et si d est la densité du solide,
alors on a :
[TeX]d = {V_i\over V}[/TeX]
Ici V est le volume de la sphère de rayon h/2 qui vaut [latex]{4\pi\over 3}*{h^3\over8} = {\pi h^3\over 6}[/latex]

Si [latex]h_i[/latex] est la "hauteur immergée" alors on a [latex]V_i={\pi h_i^2 \over 3}({3h\over 2} - h_i)[/latex]

Ici nous avons  [latex]h_i = {\alpha h\over 100}[/latex], donc :
[TeX]V_i = {\pi\alpha^2 h^2\over 30000}({3h\over 2} - {\alpha h\over 100}) ={\pi h^3 \over 6}*({\alpha\over 100})^2(3-{\alpha\over 50})[/TeX]
Donc la densité de la sphère est de   [latex]3({\alpha\over 100})^2-2({\alpha\over 100})^3= {300\alpha^2 - 2\alpha^3 \over 10^6 [/latex]

Pour [latex]\alpha=7[/latex] on obtient :
[TeX](300 * 49 - 2*343)*10^{-6} = 14014*10^{-6} = 14,014*10^{-3}[/latex].

Et pour [latex]\alpha=51[/latex], on obtient [latex]514,998*10^{-3}[/TeX]
Bien sûr tous ces résultats sont modulo les erreurs de calculs

Comme je ne pourrai mettre la réponse à l'énigme avant au moins une semaine faute de temps je la poste dès à présent.



Solution :
[TeX]\star[/latex] Premièrement, on utilise le principe d'Archimède qui stipule que tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée verticalement, égale au poids du volume de fluide déplacé.

[latex]\star[/latex] Donc à l'équilibre la force d'Archimède [latex]\vec{\Pi}[/latex] et le poids [latex]\vec{P}[/latex] se compensent.
Ainsi [latex]\vec{\Pi}+\vec{P}=\vec{0}[/TeX]
Donc [latex]\rho_{eau}*V_{dep}*\vec{g}=m_{boule} \rho_{boule}[/latex]
Soit avec [latex]m=\rho_{boule} V_{boule}[/latex] on obtient la relation fondamentale sans laquelle on ne peut rien faire, en posant [latex]\rho_{eau}=1 kg.L^{-1}[/latex] :
[TeX]\rho_{boule}=\frac{V_{dep}}{V}[/TeX][TeX]\star[/latex] On connait [latex]V[/latex] c'est celui d'une boule de rayon R quelconque, c'est-à-dire, [latex]V=\frac{4}{3}\pi R^3[/TeX][TeX]\star[/latex] Calculons le volume déplacé (immergé) dans un cas quelconque.
On sait que [latex]h=2R[/latex] donc [latex]\alpha h=R+2\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)R[/TeX]
Pour plus de commodité on pose [latex]A=R+2\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)R[/latex] et on calcul la triple intégrale suivante :
[TeX]V_{dep}=\int_{-R}^{A} \left(\iint_{S(z)} dxdy \right)dz\Longleftrightarrow V_{dep}=\int_{-R}^{A} \pi \left(R^2-z^2\right)dz[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow V_{dep}=\frac{4}{3} \pi \left(3-2\alpha \right) \alpha^2 R^3[/TeX]
Donc on en déduit que la densité est [latex]d=\left(3-2\alpha \right) \alpha^2[/latex]

Il n'y a plus qu'à remplacer alpha par 0.07 et 0.51 pour avoir la réponse.

Merci à tous,
Shadock

La formule n'est valable que pour a compris entre 0 et 1, du fait que le volume immergé n'évolue plus en dehors de ces valeurs.

Il est amusant de constater que :
- une boule de même densité que l'eau correspond à a=1, donc à une boule totalement immergée.
- une boule de densité moitié moindre que l'eau correspond à a=0,5, donc à une boule à moitié immergée.
-une boule de densité nulle correspond à a=0, donc à une boule non immergée.

Merci pour cette intéressante question ! (même si je n'ai pas eu le courage de faire la démonstration du volume de la calotte !)

Ouais ! Il vaut mieux en rester aux boules

Rien de tel que l'algèbre de boules.