Dans une base orthonormée, les vecteurs (1;0) et (1,1) ne sont pas colinéaires, et pas orthogonaux non plus (produit scalaire non nul).

Etant donné que c'est bien évidement faux, je pense qu'il y a une astuce dans l'énoncé.

"Dans un espace vectoriel de dimension finie" : intuitivement on pense "quel que soit l'espace vectoriel de dimension finie", alors que ça pourrait très bien être "il existe un espace vectoriel de dimension finie".

Et là, oui. Dans un espace à dimension unique, tous les vecteurs sont colinéaires deux à deux, et aucuns ne forment un couple orthogonal.

J'espère que ça n'est pas la bonne réponse, et que j'apprendrais quelque chose de sympa

Dans un espace à n dimensions dans lequel on a placé m vecteurs, je suppose qu'il suffit de faire un changement de repère judicieux, en prenant m vecteurs de base colinéaires à ces m vecteurs.

Mais cela ne marchera pas (sauf cas particulier) pour un nombre de vecteurs m supérieur au nombre n de dimensions de l'espace .

Il faut que l'on trouve dans quel type d'espace le théorème est vrai ?

Maintenant la solution :

D'après le théorème de la base incomplète :

Toute famille libre peut être complétée en une base.

De plus :

Toute base (a_1,...,a_n) peut être considérée
comme base orthonormée pour un certain produit scalaire

Si l'espace n'est pas euclidien on peut construire autant de produit scalaire que l'on veut.

QED.


Shadock

Oui je sais

Maintenant je connais vos limites

Famille libre

Produit scalaire

Si ce n'est pas clair, j'ai des pdf de cours mais je ne sais pas les ajouter sur le site, enfin je ne sais plus...

Pour le cas complexe, ça ne change rien mais je ne préfère pas en parler

J'ai averti dès le départ que ce ne serai pas facile pour les petits vieux.