Sauf erreur si on note x le morceaux utilisé pour réaliser le triangle , l'aire totale est donnée par la formule :
$$A=\frac{4\sqrt{3}+9}{144}x^2-6x+144$$
C'est une parabole dont le minimum est en -b/2a ( qui annule la dérivée ) c'est à dire :
$$x=\frac{432}{9+4\sqrt{3}}\approx 27,12 m$$
L'aire vaut alors :
$$A=c-\frac{b^2}{4a}=144-\frac{1296}{9+4\sqrt{3}}\approx 62,63 m^2$$
Vasimolo

Edit : J'ai remis les unités dans le droit chemin

Soit $x$ la longueur réservée au triangle et $L-x$ la longueur réservée au carré (avec $L=48$ mètres).

Alors surface du triangle = $(x/3)^2 * 1/4 = x^2/36$
Et surface du carré = $((L-x)/4)^2 = (L-x)^2 / 16 = (L^2 - 2Lx + x^2) / 16$

La somme des deux surfaces vaut donc $4x^2 / 144 + (9L^2 - 18Lx + 9x^2) / 144$

Le but du problème est d'optimiser le numérateur, c'est-à-dire optimiser $4x^2 + 9L^2 - 18Lx + 9x^2 = 13x^2 -18Lx + 9L^2$
L'optimisation est faite au point où la dérivée est nulle :
$$26x - 18L = 0$$
$x = 18L/26$,
donc $x = 9L/13$ pour le triangle et $4L/13$ pour le carré (rappel : L vaut 48 mètres).
Bof ....

on pose t la longueur du côté du triangle
(48 - 3t)/4 est donc la longueur du côté du carré

On a aC l'aire du carré et aT celle du triangle
aT = t^2 * sqrt(3) / 4 (application de la formule de Héron)
aC = (48 - 3t)^2 /16

La somme des deux, ça faitune équation du second degré qui atteind son minimum en -b/2a, avec ici -b = 18 et 2a = (9 + 4sqrt(3)) / 8
Donc en valeur exacte, t = (432-192 sqrt(3)) / 11
Il faut couper le fil à 3t, soit (1296 - 576 sqrt(3)) / 11, soit environ 27.12 cm

Déjà que des bonnes réponses Sans parler des unités parce que là c'est la fiesta!

Si j'appelle x la longueur du premier morceau, la longueur du deuxième est 48-x.
J'utilise le premier morceau pour le triangle qui est donc de côté $\dfrac{x}{3}$. Sa surface est $\left(\dfrac{x}{3}\right)^2\dfrac{\sqrt 3}{4}$.
Le deuxième morceau sert à faire le carré, dont le côté mesure $\dfrac{48-x}{4}$ et sa surface le carré de son coté.

La surface totale est donc $S(x) = \left(\dfrac{x}{3}\right)^2\dfrac{\sqrt 3}{4} + \left(\dfrac{48-x}{4}\right)^2$.

C'est une fonction polynomiale du second degré et le coefficient de second degré est positif, elle admet donc bien un minimum que l'on trouve en annulant la dérivée.
$$S'(x) = \dfrac{x}{6\sqrt{3}} - \dfrac{2}{16}\left(48-x\right)[/latex]. Qui s'annule pour [latex]x_0=\dfrac{144}{4+3\sqrt{3}}$$
Il faut donc couper le fil à 15m66cm et utiliser le morceau de cette taille pour le triangle et le reste pour le carré.

Ce n'est pas très élégant comme résolution, un peu classique peut-être mais efficace et puis ça rappelle la jeunesse :-)

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

selon mon tableur excel, on obtient l'aire minimum lorsque l'on coupe le fil de fer exactement à sa moitié :

On obtient ainsi un carré de périmètre P = 24m et d'aire A = 36m2 et un triangle de périmètre P = 24m et d'aire A = 32m2. Soit une aire totale de 68m2.

Comment trouver ce résultat sans passer par une étude de fonction ou par un tableur ? J'attends de voir vos propositions...

Soit l la longueur de la barre et x la longueur coupée pour faire le triangle.

L'aire du triangle et l'Aire du carré sont respectivement :
At = x/2 * x*racine(3)/2 = x² *racine(3) / 4
Ac=(l-x)²/4

Donc l'aire des 2 figures est A = x² *racine(3) / 4 + (l-x)²/4

Cette fonction de x est un polynome du second degré dont le coefficient de x² est positif, elle est donc minimale pour la valeur de x annulant sa dérivée.

A'(x) = 2 racine(3) / 4 - 2 (l-x) / 4 qui s'annule pour x0=l/(1+racine(3)).

x0 est compris dans l'intervalle [0;l] donc A est bien minimal en x0 sur [0;l].

Application numérique : pour l=48, x0 = 17,569 cm

Honte à moi, une erreur d'inattention
Il fallait lire: $x_0=\dfrac{144\sqrt{3}}{4+3\sqrt{3}}$ dans ma réponse, et non $x_0=\dfrac{144}{4+3\sqrt{3}}$
ce qui donne bien 27,12m

Je vais m'appliquer pour la prochaine

Non, c'est l'allemand qui a le poisson, il fume des Prince et boit du café dans la maison verte.