regardons les differentes parité de n
n=2m
alors en prenant [latex]a=2^{m}[/latex]
[TeX]2^{2m}-(2^{m})^2 = 0[/TeX]
or 7 divise 0.
donc pour tout n pair on a une solution

pour n=2m+1 prenons [latex]a=2^{m-1}[/latex]
on obtient alors [latex]2^{2m-2}(2^3-1)[/latex]

pour n=1 on a une soluton evidente donc on a donc une solution pour tout n.

Bamby2 j'ai mis les précisions dans l'énoncé.

Donc : pour un entier [latex]n[/latex] quelconque, existe-t'il un entier [latex]a[/latex] tel que [latex]2^n[/latex] et [latex]a^2[/latex] sont de même congruence modulo 7 ?

Les [latex]2^n[/latex] sont congrus a 1, 2 ou 4 modulo 7, pour la simple raison que [latex]2^3[/latex] est congru a 1 modulo 7 : par conséquent, tout cela est cyclique. Pour tout k positif ou nul :
[TeX]2^{3k} \equiv 1 [7]
2^{3k+1} \equiv 2 [7]
2^{3k+2} \equiv 4 [7][/TeX]
Il existe des valeurs de a telles que [latex]a^2[/latex] soit congru a 1, 2 ou 4 modulo 7.

[latex]a=1[/latex] donne [latex]2^{3k}-a^2[/latex] divisible par 7.
[latex]a=3[/latex] donne [latex]2^{3k+1}-a^2[/latex] divisible par 7.
[latex]a=2[/latex] donne [latex]2^{3k+2}-a^2[/latex] divisible par 7.

Mais ce ne sont que des exemples ; on peut probablement prouver qu'une infinité de valeurs de [latex]a[/latex] conviennent dans chaque cas, en prouvant qu'il y a une infinité de carrés congrus a 1, 2 ou 4 (respectivement) modulo 7.

C'est de la congruence modulo 7
[TeX]2^n \in \{\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}[/latex] et [latex]a^2 \in \{\bar{0};\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}[/TeX]
Vasimolo

[latex]a[/latex] est en entier.

Si on veut reformuler la question, on aurait "Est-ce qu'il existe un entier [latex]a[/latex] tel que pour tout entier naturel [latex]n[/latex], [latex]7[/latex] divise [latex]2^n - a^2[/latex] ?"
[TeX]2^0 - a^2 \equiv 1 - a^2 [7][/TeX]
[TeX]2^1 - a^2 \equiv 2 - a^2 [7][/TeX]
[TeX]2^2 - a^2 \equiv 4 - a^2 [7][/TeX]
[TeX]2^3 - a^2 \equiv 1 - a^2 [7][/TeX]
...

On remarque que les congruences sont les mêmes si [latex]n[/latex] est de la forme [latex]3k[/latex] ; [latex]3k + 1[/latex] ou [latex]3k + 2[/latex].
[TeX]2^3^k - a^2 \equiv 1 - a^2 [7][/TeX]
Si [latex]a = 1[/latex], alors [latex]2^3^k - a^2[/latex] est divisible par [latex]7[/latex]
(car [latex]2^3^k - a^2[/latex] est ainsi congru à [latex]0[/latex] modulo [latex]7[/latex], d'où la divisibilité). Pour [latex]n = 3k[/latex], il existe bien un entier [latex]a[/latex] tel que [latex]2^n - a^2[/latex] soit divisible par [latex]7[/latex].

De même, [latex]2^3^(^k^+^1^) - a^2 \equiv 2 - a^2 [7][/latex]
En prenant [latex]a = 4[/latex], c'est congru à [latex]-14[/latex] modulo [latex]7[/latex], soit [latex]0[/latex], d'où la divisibilité.

De même, [latex]2^3^(^k^+^2^) - a^2 \equiv 4 - a^2 [7][/latex]
En prenant [latex]a = 2[/latex], c'est congru à [latex]0[/latex] modulo [latex]7[/latex], donc c'est divisible par [latex]7[/latex].

On a bien montré que pour tout entier naturel [latex]n[/latex], on peut trouver un nombre [latex]a[/latex]
([latex]1[/latex] ; [latex]4[/latex] ; ou [latex]2[/latex] suivant les valeurs de [latex]n[/latex]), tel que [latex]7[/latex] divise [latex]2^n - a^2[/latex].

Alexein41 .

Bravo à tous et merci d'avoir participé.

Tu permets mais j'attaque la deuxième ligne de l'énoncé