J'ai au moins trouvé une boucle : 9 ; 18 ; 36 ; 72 ; 27 ; 54 ; 45 ; 90 ; 9 .

Vasimolo

Je pense que toutes les suites se finissent par un cycle.

Quelques constats sans démonstration  pour le moment

A partir d'un algorithme, je suis arrivé aux contacts suivants pour les 1.000.000 premiers entiers positifs:

1) La suite n'est jamais divergente;

2) Pour 590 nombres sur le million, la suite est convergente et converge vers 1245789. Ces 590 nombres sont supérieurs ou égaux à 578997 et la somme des chiffres qui les constituent est égale à 36 ou à 45.

3) Pour tous les autres nombres, la suite évolue puis atteint une boucle dont la longueur est égale à 4, 5, 6 ou à 12. (Pour info, la longueur k d'une boule est définie tel que [latex]U_{n+k}=U_n[/latex]).
Les nombres débouchant sur une boucle de longueur 6 sont les plus représentés (90,692% des nombres étudiées), suivis de ceux de longueur de boucle 12 (6,865%) puis de longueur 4 (2,559%).

Ces constats peuvent peut-être aider ceux qui auraient des formules englobantes. Le contact 1) semble aller au delà du 1.000.000; donc général.

Le constat 2) dans mon post traite de la convergence vers un entier différent de 0
Il s'agit de 590 nombres inférieurs à 1.000.000 qui conduisent à cela

Je pensais avoir brillamment démontré que la seule convergence possible était vers 0, mais kossi_tg a trouvé un autre point fixe : 1245789.

Du coup, je me demande s'il y en a d'autres...

Bravo titoufred. J'en ai trouvé aussi, mais pas la démo, quoique ça ne doit pas être bien compliqué.
Le plus typique de période 1 (à mon avis, on devrait parler de suite périodique,
la convergence me semble être d'une autre nature) est le 123456789, auquel on peut ajouter autant de 9 que l'on veut. Et il y en a bien d'autres.

Malgré toutes ces suites périodiques, je ne suis pas convaincu que ça se produit tout le temps, notamment pour les nombres à 10 chiffres ou plus.
Il faudrait prouver que la suite décroit lentement. La question est de savoir si le 5 comme plus grand nombre, condition nécessaire pour faire "moins 1 chiffre", revient plus souvent que le "au moins 5" comme plus petit nombre (condition nécessaire pour faire "plus 1 chiffre".

D'une manière plus générale, tout nombre initial comportant au moins une fois tous les chiffres de 1 à 9 conduit à une suite périodique. Ce n'est pas difficile à montrer.
Reste que pour tous les autres nombres, la question demeure.

Le raisonnement pour prouver que tout nombre qui comporte tous les chiffres au moins une fois est assez rustique:
Les 1,2,3 donnent respectivement 2,4,6.
un 4 donne un 9.
les 5, 6 7,8 ,9 donnent respectivement 1,3,5,7 et au moins un 8.
On voit bien donc qu'on n'aura jamais de chiffre non représenté dans le nombre.
Donc, il n'y aura pas de 5 comme plus grand chiffre, qui conduirait à une diminution du nombre de chiffres à cause du zéro. 
De même on n'aura jamais les chiffres 1 à 4 non représentés, qui conduiraient, en leur absence, à une augmentation du nombre de chiffres.
Moralité: le nombre de chiffres reste constant, donc les combinaisons possibles ne sont pas en quantité infinie, la suite sera forcément périodique.

Bien vu nodgim. Tu peux même enlever les 3 et les 6.
Un nombre qui contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant va donner un nombre du même type ayant le même nombre de chiffres et à la longue un cycle.

Mieux que ça : un nombre qui contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant fait partie d'un cycle. La longueur du cycle est un diviseur de 6.

Voici la démonstration :
Soit x un nombre contenant chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 (et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant).
Je note #c(n) le nombre de chiffres c dans [latex]f^n(x)[/latex]
Alors :
#1(n+1) = #5(n)
#2(n+1) = #1(n)
#3(n+1) = #6(n)
#4(n+1) = #2(n)
#5(n+1) = #7(n)
#6(n+1) = #3(n)
#7(n+1) = #8(n)
#8(n+1) = #4(n)
#9(n+1) = #9(n)
Par conséquent #c(n+6)=#c(n) et donc [latex]f^6(x)=x[/latex] donc x fait partie d'un cycle dont la longueur est un diviseur de 6.

Remarque : la longueur exacte de ce cycle est le pgcd des périodes des suites (#1, #2, #4, #8, #7, #5) et (#3, #6).
En particulier, pour les nombres (contenant chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant) donnant des...
*Cycles 1-périodiques (points fixes) : 
#1=#2=#4=#5=#7=#8 et #3=#6
*Cycles 2-périodiques (longueur 1 ou 2) : 
#1=#4=#7 et #2=#5=#8
*Cycles 3-périodiques (longueur 1 ou 3) :
#1=#8, #2=#7, #4=#5 et #3=#6

Pour les cycles 2-périodiques (c'est-à-dire de longueur 1 ou 2), j'ai réussi il me semble à démontrer la réciproque de ce qui était annoncé dans le message précédent :

Si x non nul fait partie d'un cycle 2-périodique, alors x contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9.

Finalement, les cycles 2-périodiques (non nuls) sont constitués de nombres dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant et tels que :

#1 = #4 = #7 > 0
#2 = #5 = #8 > 0
#9 > 0

Voici la démonstration :

Soit x un nombre non nul faisant partie d'un cycle 2-périodique. On note y=f(x). Alors f(y)=x. Notons que x et y ont leurs chiffres classés dans l'ordre croissant et ne comportent donc pas de 0. On note max(x) le plus grand chiffre de x. Nous allons tout d'abord montrer que max(x)=9.

Supposons max(x)=1 : Alors x se termine par 1, donc y se termine par 2, donc x se termine par 4. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 1.

Supposons max(x)=2 : Alors x se termine par 2, donc y se termine par 4, donc x se termine par 8. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 2.

Supposons max(x)=3 : Alors x n'est composé que de 1, de 2 et de 3, donc y n'est composé que de 2, de 4 et de 6. Si y avait un 2, alors x aurait un 4 ou un 5. Donc y n'a pas de 2 et x n'a donc pas de 1. Si y avait un 4, alors x aurait un 8 ou un 9. Donc y n'a pas de 4. Par conséquent y n'est composé que de 6. Donc x commence par un 1. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 3.

Supposons max(x)=4 : Alors x se termine par 4, donc y se termine par 8, donc x se termine par 6. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 4.

Supposons max(x)=5 : Si x ne comportait que des 5, y ne comporterait que des 1, donc x que des 2. C'est absurde. Donc x ne comporte pas que des 5. Comme x se termine par un 5 et ne comporte pas que des 5, y compte un chiffre de moins que x. Par conséquent, y ne comporte que des chiffres supérieurs ou égaux à 5 et x commence donc par un 1. Mais alors y a un 2 ou un 3. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 5.

Supposons max(x)=6 : y n'a pas de 9 (sinon x aurait un 8) donc x n'a pas de 4. D'autre part, x se termine par un 6, donc y a un 2. Ce 2 ne doit pas donner un 4 pour x, donc y n'a pas de 3 ni de 4. Donc le 6 de x provient d'un 8 de y. Mais ce 8 de y doit lui-même provenir d'un 4 ou d'un 9 de x. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 6.

Supposons max(x)=7 : x se termine par un 7 donc y a un 4 donc x a un 8 ou un 9. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 7.

Supposons max(x)=8 : max(y)>7 donc x a un 4 donc y a un 2. Le 8 final et les 3 de x donnent les 6 de y, donc #6(y)=#3(x)+1. D'autre part, seuls les 6 de y donnent les 3 de x, donc #3(x)=#6(y). C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 8.

Finalement, on en conclut que max(x)=9. On a bien sûr de même max(y)=9.

x et y ont un 9, donc un 8, donc un 7, donc un 5.
D'autre part #9(y)<#9(x) si x n'a pas de 4 et #9(y)=#9(x) si x a un 4. De même en inversant les rôles de x et y. On en déduit que #9(y)=#9(x) et que x et y ont un 4.

On peut alors en déduire que #1(x)=#2(y)=#4(x)=#8(y)=#7(x)=#5(y) et de même #1(y)=#2(x)=#4(y)=#8(x)=#7(y)=#5(x).

Finalement : #1(x)=#4(x)=#7(x) > 0, #2(x)=#5(x)=#8(x) > 0 et #9(x) > 0.

Inversement, pour un nombre x vérifiant les propriétés ci-dessus, on montre facilement que [latex]f^2(x)=x[/latex] donc x fait partie d'un cycle 2-périodique.

CQFD.

Il faudrait regarder ce que ça donne pour les cycles 3-périodiques...

Oui nodgim. Le plus compliqué est de voir pourquoi la réciproque est vraie.

Pour les cycles 3-périodiques (c'est-à-dire de longueur 1 ou 3), j'ai également réussi il me semble à démontrer la réciproque de ce qui était annoncé dans le message plus haut :

Si x non nul fait partie d'un cycle 3-périodique, alors x contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9.

Finalement, les cycles 3-périodiques (non nuls) sont constitués de nombres dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant et tels que :

#1 = #8 > 0
#2 = #7 > 0
#4 = #5 > 0
#3 = #6
#9 > 0

Voici la démonstration :

Soit x un nombre non nul faisant partie d'un cycle 3-périodique. On note y=f(x) et z=f(y). Alors f(z)=x. Notons que x, y et z ont leurs chiffres classés dans l'ordre croissant et ne comportent donc pas de 0. On note max(x) le plus grand chiffre de x. Nous allons tout d'abord montrer que max(x)=9.

Supposons max(x)=1 : Alors x se termine par 1, donc y par 2, donc z par 4 et donc x par 8. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 1.

Supposons max(x)=2 : Alors x se termine par 2, donc y par 4, donc z par 8, donc x a un 6. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 2.

Supposons max(x)=3 : Alors x se termine par 3, donc y par 6, donc z a un 2, donc x un 4 ou un 5. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 3.

Supposons max(x)=4 : Alors x se termine par 4, donc y par 8, donc z a un 6, donc x a un 2 ou un 3. D'autre part, y n'a pas de 4, sinon z aurait un 9 et x un 8. Puisque y n'a pas de 4, alors x n'a pas de 2, donc x a un 3, donc y un 6, donc z un 3, donc x un 6 ou un 7. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 4.

Supposons max(x)=5 : On vérifie facilement que x ne comporte pas que des 5. Comme x se termine par un 5 et ne comporte pas que des 5, y compte un chiffre de moins que x. Par conséquent, y ou z ne comporte que des chiffres supérieurs ou égaux à 5. z n'a pas de 3, 4, 8 ou 9 donc y pas de 4 ou 9 donc x pas de 4, donc y pas de 8 et z pas de 7. Comme z n'a pas de 7, alors le 5 de x provient d'un 2 de z, donc z ne donne aucun 3 pour x. Comme z a un 2, c'est donc y qui ne comporte que des chiffres supérieurs ou égaux à 5. x n'a pas de 3, donc y pas de 6, donc z n'a pas de 2. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 5.

Supposons max(x)=6 : z n'a pas de 9 ou de 4. Le 6 de x donne un 2 pour y, donc comme z n'a pas de 4, y n'a pas de 3 ou de 4 et z a un 5. On sait que max(z)>5 donc x a un 1. x n'a pas de 7 donc z pas de 3. Comme z n'a pas de 4, y ne peut avoir qu'un seul 2, donc le 1 de x ne donne pas de 2 mais un 3 pour y. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 6.

Supposons max(x)=7 : x se termine par 7 donc y a un 4. Comme max(y)>6, le 4 de y donne un 9 chez z, qui donne un 8 chez x. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 7.

Supposons max(x)=8 : max(z)>7 donc z n'a pas de 4 mais un 9. Le 8 final de x donne un 6 pour y et comme max(y)>7, alors z a un 3, donc x un 7, donc y un 5, z un 1, et donc x un 2.
Puisque z n'a pas de 4 et finit par un 9, alors x n'a pas de 6, donc y pas de 3. Si max(y) valait 8, alors x aurait un 4, donc y un 9, ce qui est absurde. Donc y a un 9, donc x un 4. De plus, x a un 2, donc y un 4.
Alors #4(x)+1=#8(y)=#7(z)=#5(x)=#1(y)=#2(z)=#4(x). C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 8.

Finalement, on en conclut que max(x)=9. On a bien sûr de même max(y)=max(z)=9.

x, y et z ont un 9, donc un 8, donc un 7, donc un 5.
D'autre part #9(y)<#9(x) si x n'a pas de 4 et #9(y)=#9(x) si x a un 4. De même en remplaçant (y,x) par (z,y) ou (x,z). On en déduit que #9(x)=#9(y)=#9(z) et que x, y et z ont un 4.

On peut alors en déduire que #1(x)=#2(y)=#4(z)=#8(x)=#7(y)=#5(z) et de même en remplaçant (x,y,z) par (y,z,x) ou (z,x,y).
On en déduit que #1(x)=#8(x), #2(x)=#7(x) et #4(x)=#5(x).
On voit également que #3(x)=#6(y)=#3(z)=#6(x).

Finalement : #1(x)=#8(x) > 0, #2(x)=#7(x) > 0, #3(x)=#6(x), #4(x)=#5(x) > 0 et #9(x) > 0.

Inversement, pour un nombre x vérifiant les propriétés ci-dessus, on montre facilement que [latex]f^3(x)=x[/latex] donc x fait partie d'un cycle 3-périodique.

CQFD.