J'ai mis les mains dans le cambouis pour construire celui-ci (avec des valeurs intéressantes) alors j'espère que les inconditionnels me feront honneur


Règles de "mon" micro poker:
-C'est un duel, il n'y a que deux joueurs.
-On va les appeler respectivement l'ouvreur et le suiveur.
-Il n'y a que 3 types de cartes: numérotées 1, 2, ou 3. (plus grande = plus forte).
Une manche:
-On distribue au hasard une carte à chaque joueur, un joueur ne voit que sa propre carte, on considère que tout est équiprobable dans la distribution et rien ne s'oppose à ce que les joueurs aient le même type de carte.
-L'ouvreur est le premier à parler il a le choix entre:
    * Se coucher: la manche s'arrête, perdue pour lui, il donne 1 euro à l'autre.
    * Ouvrir: la manche continue, le suiveur a maintenant la parole.
-Le suiveur lorsqu'il a la parole a le choix entre:
    * Se coucher: la manche s'arrête, perdue pour lui, il donne 2 euros à l'autre.
    * Suivre pour voir: On dévoile les carte, celui qui a la plus faible donne 5 euros
       à l'autre. En cas d'égalité il ne se passe rien.


Comment l'ouvreur et le suiveur doivent ils jouer?
Qui préférez vous être?

PS: je me suis arrangé pour qu'un phénomène intéressant se produise
Je donnerais des indices si besoin au fur et à mesure.

Indice 1:
Spoiler : [Afficher le message] Il faut envisager les stratégies mixtes. C'est à dire les stratégies faisant apparaitre du hasard dans des proportions à déterminer. Par exemple à pierre papier ciseau la stratégie optimale est une stratégie mixte consistant à jouer chaque options au hasard dans des proportions égales. Ici les stratégies sont en partie mixtes.

Indice 2:
Spoiler : [Afficher le message] Le problème peut être simplifié. Si on note o1 o2 o3 s1 s2 s3 respectivement les fréquences avec lesquelles l'ouvreur et le suiveur doivent ouvrir/suivre lorsqu'ils voient 1 2 ou 3 alors on peut voir facilement les valeurs de o3, s3. Et avec très peu de calcul supplémentaire les valeurs de o2 s1. Ne reste donc que deux paramètres à déterminer: o1 et s2. 

Indice 3:
Spoiler : [Afficher le message] Que veut dire "jouer optimalement" de manière claire. Vous fixez une stratégie mixte(cf indice1) pour l'un des deux joueurs, elle est optimale lorsqu'elle minimise ce que l'autre peut faire au mieux contre. La théorie des jeux assure (au moins dans notre contexte) qu'il en existe une. (Ce qui n'est pas nécessairement trivial car il aurait pu y avoir une stratégie B contrant A une stratégie C contrant B et A contrant C mais on a pas à se poser cette question)
Il ne reste que des calculs à faire!

Solution:
Spoiler : [Afficher le message]
Résultat:
La stratégie optimale de l'ouvreur:
Ouvrir à 1: 1 fois sur 7 au hasard.
Ouvrir à 2: Toujours.
Ouvrir à 3: Toujours.
La stratégie optimale du suiveur:
Suivre à 1: Jamais.
Suivre à 2: 2 fois sur 7 au hasard.
Suivre à 3: Toujours.
Lorsque les deux joueurs jouent optimalement il y a une dérive moyenne en faveur de l'ouvreur de 2/63 euros par partie.
Le phénomène intéressant dont je parlais est la proportion non nulle d'ouverture à 1 dans la stratégie optimale. C'est ce qu'en langage courant on nomme "le bluff" mais j'illustrais ici le fait que la notion n'est pas uniquement psychologique mais bien une réalité mathématique.
Autour du résultat:
On va appeler "stratégie intelligente"" les gammes de stratégie ou l'ouvreur
ouvre toujours avec 2 et 3 et ou le suiveur ne suit jamais avec 1 et toujours avec 3. Et "stratégie optimale" les 2 stratégies intelligentes particulières déjà données ci dessus. On remarque:
Si l'ouvreur joue optimalement, le suiveur peut faire n'importe quel stratégie intelligente ca n'aggravera pas la dérive moyenne qui restera constante a 2/63 en faveur de l'ouvreur.
Si le suiveur joue optimalement, l'ouvreur peut faire n'importe quel stratégie intelligente ca n'aggravera pas la dérive moyenne qui restera constante à 2/63 en faveur de l'ouvreur.
Si l'ouvreur adopte une stratégie intelligente ou il ouvre à 1 dans moins de 1/7 des cas le suiveur à intérêt à adopter la stratégie intelligente ou il ne suit plus jamais avec 2.
Si l'ouvreur adopte une stratégie intelligente ou il ouvre à 1 dans plus de 1/7 des cas le suiveur à intérêt à adopter la stratégie intelligente ou il suit systématiquement avec 2.
Si le suiveur adopte une stratégie intelligente ou il suit à 2 dans plus de 2/7 des cas l'ouvreur à intérêt à adopter la stratégie intelligente ou il n'ouvre jamais avec 1.
Si le suiveur adopte une stratégie intelligente ou il suit à 2 dans moins de 2/7 des cas l'ouvreur à intérêt à adopter la stratégie intelligente ou il ouvre systématiquement avec 1.
Calcul:
Voir les calculs de ceux étant parvenu à ce résultat