@Nombrilist:
Pour ne rien dévoiler je vais le formuler ainsi:
Au moins un de tes joueurs ne joue pas optimalement.

Je n'ai Internet qu'avec l'Iphone tout de suite, donc je peux pas poster le pavé que j'ai écrit sur le PC...
Je trouve une stratégie optimale pour les 2 qui les amènent a ne rien gagner ni perdre : l'ouvreur se couche avec 1, et suit avec 2 ou 3, et ensuite le suiveur se couche avec 1 et 2, et suit avec 3.

Mais les calculs supposent la stratégie de l'ouvreur lisible par le suiveur, et si l'ouvreur se met a bluffer et changer de stratégie, je ne sais pas comment faire répondre le suiveur ! Ca devient vraiment du poker !

L'ouvreur ouvre avec un 2, avec un 3, et une fois sur 7 avec un 1.
Son espérance de gain est de 2/63
Ca ressemble a quelque chose ?

Plutôt temps presque plein, ca ne me prend pas tant de temps que ca que de surveiller les travaux de la cuisine

Le suiveur se couche avec un 1, suit avec un 3, et peut suivre ou se coucher indépendamment avec un 2.

Des que je récupère le PC j'écris mon raisonnement.

Ca redonne envie de rejouer au poker, ces stats

Alors, si A n'ouvre que si il a 3 et B ne suit que si il a 3, alors:

P(A) = 6/9
P(B) = 1/3*2/3 = 2/9
P(E) = 1/9

E(A) = -2/9
E(B) = 2/9

J'imagine que la stratégie gagnante est pour B qui ne doit suivre que quand il tire 3, indépendamment de ce que A peut bien avoir comme stratégie ?

Disons que j'ai l'impression que quoi que fasse A, B a toujours un moyen de contrer, notamment en ne suivant que si il a 3. A a alors intérêt à ouvrir si il a 2 ou 3.
Mais il y a sans doute une erreur ou un oubli de cas de figure si la solution n'est pas celle-ci.

Bon, je mets toutes mes reflexions, ça permet de me dire là ou j'ai fabulé !

9 cas de figure. O/S
1/1
1/2
1/3
2/1
2/2
2/3
3/1
3/2
3/3

Cas 1 : (ouvreur prudent)
Si l'ouvreur a un 3, il ne se pose pas de question, il ouvre.
Le suiveur a un 1, il se couche (+2€), il a un 2, il se tate , il a un 3, il suit. (0€)

Si l'ouvreur a un 1, il se couche. (-1€)

Reste le cas de figure avec le 2, si on calcule la probabilité de la deuxième main, il a 1 chance sur 3 de gagner 2€, une chance sur 3 de gagner 2€ ou rien du tout, et 1 chance sur 3 de perdre 5€. Avec une espérance de gain négative, il se couche et perd 1€.

Sachant tout ça, le suiveur ne suivra pas avec un 2, et l'espérance de gain de l'ouvreur est négative.

Cas 2 : (ouvreur aggressif)
D'après tout ça, l'ouvreur doit forcement jouer différement. S'il suit tout le temps.
Le suiveur se couchera sur un 1 (+2€), se couchera sur un 2 (+2€) et suivra avec un 3 (-5€ / -5€ / 0)
Dans ce cas là, l'ouvreur a un espérence de gain supérieur à 0.

Comment le suiveur peut casser cette dynamique ?
Il faudrait qu'il suive lorsqu'il a un 2, alors l'espérance de gain serait (-5€ / 0 / +5€) et là, c'est l'ouvreur qui perd.

Comment l'ouvreur peut améliorer sa situation ?
S'il se couche sur un 1 et n'ouvre que sur un 2.
Alors, son espérance de gain redevient positive. Mais dans ce cas, le suiveur ne suivra plus avec un 2 puisqu'il ne peut plus gagner.
Là, les deux joueurs ne gagnent rien !

Sachant que 2 fois sur 3, le suiveur ne suivra pas, il faut qu'il ouvre sur un 1 et on revient dans le cas au dessus ! Bref, on se mord la queue !

Pour gagner de l'argent, l'ouvreur doit etre plus vicieux que ça, il doit bluffer.
N'ouvrir qu'une fois sur 7 lorsqu'il a un 1, et ouvrir avec un 2 et un 3.

Est-ce que le suiveur doit suivre avec un 2 ?
Si oui, espérance de gain de l'ouvreur (63 tirages) = -3 * 6 + 2 - 5 - 5 + (2 + 0 - 5 + 2 + 5 + 0) * 7 = +2
si non, espérance de gain de l'ouvreur (63 tirages) = -3 * 6 + 2 + 2 - 5 + (2 + 2 - 5 + 2 + 2 + 0) * 7 = +2

Là, ça sent la strategie gagnante !!! Je veux être ouvreur !

-On distribue au hasard une carte à chaque joueur, un joueur ne voit que sa propre carte, on considère que tout est équiprobable dans la distribution et rien ne s'oppose à ce que les joueurs aient le même type de carte.

Je comprends ça comme: les cartes des deux joueurs suivent des lois aléatoires uniformes et indépendantes. J'espère que j'interprète bien tes propos.

Passons à la stratégie.
La stratégie de l'ouvreur se résume à 3 probabilités: les probabilités qu'il ouvre selon la carte qu'il a en main. Je les appelle O1, O2 et O3 (où Oi est la proba d'ouvrir avec la carte de valeur i).
La stratégie du suiveur se résume aussi à 3 probabilités: les probas qu'il suive selon la carte qu'il a en main. Je les appelle cette fois-ci S1, S2 et S3 (Sj: proba de suivre avec une carte de valeur j).
Je crois que la théorie des jeux assure qu'il existe une stratégie optimale pour chacun des joueurs.

Il reste à calculer le gain moyen de l'ouvreur en fonction de O1, O2, O3, S1, S2 et S3. Il est inutile de calculer le gain moyen du suiveur car il est opposé à celui de l'ouvreur (jeu à somme nulle).
Avant de se lancer dans les calculs, on peut deviner quelques valeurs.
Il est clair que le suiveur va suivre si sa carte est un 3, donc S3=1. De même, il est clair que l'ouvreur va ouvrir s'il a un 3, donc O3=1.
Le gain moyen de l'ouvreur vaut:
[TeX]Gain=-\frac{1}{3}(1-O1)-\frac{1}{3}(1-O2)
+\frac{1}{9}O1.(2.(1-S1)+2.(1-S2)-5.S2-5)
+\frac{1}{9}O2.(2.(1-S1)+5.S1+2.(1-S2)-5)
+\frac{1}{9}(2.(1-S1)+5.S1+2.(1-S2)+5.S2)
[/TeX]
On arrange un peu l'expression:
[TeX]9.Gain=-2+3.S1+3.S2+O1.(2-2.S1-7.S2)+O2.(2+3.S1-2.S2)
[/TeX]
Ha la la... Je suis fatigué, je suis sûr qu'il doit y avoir des erreurs de calcul alors je reprends ça plus tard...

Je suis en train de mettre en forme le texte, pas de panique

Je remarque d'abord qu'avec un 3, on ne peut pas perdre d'argent en ouvrant/suivant (au pire gain nul), alors qu'on en perd si on se couche : il faut donc toujours ouvrir/suivre quand on a un 3.

J'appelle :
p la probabilité de l'ouvreur d'ouvrir s'il a tiré un 1
q la probabilité de l'ouvreur d'ouvrir s'il a tiré un 2

r la probabilité du suiveur de suivre s'il a tiré un 1
s la probabilité du suiveur de suivre s'il a tiré un 2

Je suppose que [latex]q \ge p[/latex] et [latex]s \ge r[/latex], ce qui paraît logique : on veut plus souvent ouvrir/suivre avec un 2 qu'avec un 1.
Avec un petit tableau Excel qui recense tous les cas possibles suivant les valeurs des cartes, et en utilisant les probabilités suivantes :

P(ouvreur a un 1 et il ouvre)=p/3
P(ouvreur a un 1 et il se couche)=(1-p)/3
P(ouvreur a un 2 et il ouvre)=q/3
P(ouvreur a un 2 et il se couche)=(1-q)/3
P(ouvreur a un 3 et il ouvre)=1/3
P(ouvreur a un 3 et il se couche)=0

P(suiveur a un 1 et il suit)=r/3
P(suiveur a un 1 et il se couche)=(1-r)/3
P(suiveur a un 2 et il suit)=s/3
P(suiveur a un 2 et il se couche)=(1-s)/3
P(suiveur a un 3 et il suit)=1/3
P(suiveur a un 3 et il se couche)=0

En combinant ces probabilités aux différents gains (je passe les calculs), je trouve cette formule pour l'espérance de gain de l'ouvreur :
[TeX]E(ouvreur)=\frac{2(p+q)}9+\frac{r+s}3-\frac{7ps}9+\frac{qr}3-\frac{2qs}9-\frac{2pr}9-\frac29[/TeX]
Plaçons nous maintenant du côté du suiveur qui veut minimiser cette espérance de gain.

Le coefficient de r dans cette formule est :
[TeX]\frac13+\frac q3-\frac{2p}9=\frac{3+3q-2p}9 > 0[/TeX]
Pour minimiser le gain de l'ouvreur, le suiveur a donc intérêt à prendre r=0

La formule s'écrit alors :
[TeX]E=\frac{p(2-7s)+q(2-2s)+3s-2}9[/TeX]
Le suiveur veut choisir un s tel que la meilleure valeur que l'ouvreur puisse obtenir en faisant varier p et q soit la plus faible possible.
Si on prend s entre 0 et 2/7, alors l'ouvreur pourra prendre p=1 et q=1 (les coeff de p et q sont positifs). Le gain sera alors [latex]\frac{2-6s}9[/latex]. Le gain maximal que le suiveur laissera à l'ouvreur dans ce cas est pour s=2/7 et vaut 2/63
Si on prend s entre 2/7 et 1, alors l'ouvreur aura intérêt à prendre p=0 (coeff négatif), et q=1. Le gain devient alors s/9, minimal pour s=2/7 et valant 2/63.

Le suiveur a donc intérêt à prendre les valeurs r=0,s=2/7


Du côté de l'ouvreur
Le coeff de q est [latex]\frac29+\frac r3-\frac{2s}9[/latex], qui est positif car s<=1. Donc l'ouvreur a intérêt à prendre q=1.

La formule devient
[TeX]E=\frac{r(6-2p)+s(1-7p)+2p}9
[/TeX]
si on prend p entre 0 et 1/7, le suiveur choisira r=s=0 et le gain sera [latex]\frac{2p}9[/latex], avec un gain max de 2/63 pour p=1/7
si on prend p entre 1/7 et 1, le suiveur prendra r=0 et s=1, ce qui donnera un gain de [latex]\frac{1-5p}9[/latex], maximisé pour p=1/7 et valant 2/63

On en déduit donc que l'ouvreur a intérêt à choisir p=1/7 et q=1


Conclusion :
L'ouvreur ouvre 1 fois sur 7 avec un 1, et tout le temps avec un 2 ou un 3
Le suiveur se couche avec un 1, suit 2 fois sur 7 avec un 2, et tout le temps avec un 3

Indice 1:
Spoiler : [Afficher le message] Il faut envisager les stratégies mixtes. C'est à dire les stratégies faisant apparaitre du hasard dans des proportions à déterminer. Par exemple à pierre papier ciseau la stratégie optimale est une stratégie mixte consistant à jouer chaque options au hasard dans des proportions égales. Ici les stratégies sont en partie mixtes.

Indice 3:
Spoiler : [Afficher le message] Que veut dire "jouer optimalement" de manière claire. Vous fixez une stratégie mixte(cf indice1) pour l'un des deux joueurs, elle est optimale lorsqu'elle minimise ce que l'autre peut faire au mieux contre. La théorie des jeux assure (au moins dans notre contexte) qu'il en existe une. (Ce qui n'est pas nécessairement trivial car il aurait pu y avoir une stratégie B contrant A une stratégie C contrant B et A contrant C mais on a pas à se poser cette question)
Il ne reste que des calculs à faire!