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Spoiler : [Afficher le message] Tenter de trouver quand et pourquoi un joueur aurait intérêt à ne plus jouer ici comme dans la solution optimale de micro poker I. Puis généraliser.

Solution numérique! comme promis. (voir "solution" juste au dessus avant ce qui est ici c'est du bonus pas initialement demandé bien sur ^^)
Grâce à quelques lignes dans mathématica 7.0

Spoiler : [Afficher le message] Donc on a 39 positions du jeu, de celle ou l'ouvreur a 1euro en poche et le suiveur 39 au contraire.
Attention les valeurs suivantes ont été obtenu par itération et son donc des approximations numériques.

i)Il n'y a pas de comportement stable de la probabilité de gagner de l'ouvreur autour de 20/20, ce que je veux dire par la c'est qu'on pourrait s'attendre à ce que les première manches n'aient pas trop d'impact et que la probabilité de gagner chute subitement lorsqu'on arrive proche d'une position dominée. Mais ce n'est pas le cas ça varie de manière presque linéaire. (grossomodo la probabilité de gagner la partie pour l'ouvreur suit une courbe du genre x/40 ou x est ce qu'il a en poche)

ii)Lorsque l'ouvreur a 1euro en poche et le suiveur 39, l'ouvreur a encore légèrement moins qu'une chance sur 10 de gagner la partie.
Lorsque c'est le contraire le suiveur a encore légèrement moins d'une chance sur 20 de gagner la partie. (On se rend compte de l'avantage d’être ouvreur voir micro poker 1)

iii)Stratégies gagnantes en fonction de la position de jeu:
On notera o1 o2 o3 s1 s2 s3 les probabilités/fréquences que les joueurs doivent suivre lorsqu'ils ouvrent/suivent respectivement en voyant dans leur main un 1 un 2 ou un 3.
Dans la suite on ne parlera que de o1 o2 s1 s2 car trivialement o3=s3=1.
Comme on pourrait s'y attendre autour de la position de départ 20/20 la stratégie à adopter est la même que dans micro poker 1. C'est à dire:

20/20:
PGO=0.561835,
{o1 -> 0.127988, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.25761}

Ça se lit "lorsque chacun à 20 euros en poche alors la probabilité de gagner de l'ouvreur est de 56% il doit ouvrir lorsqu'il a un 1 dans 12% des cas et ouvrir systématiquement lorsqu'il a un 2. Le suiveur ne doit jamais suivre avec 1 et doit suivre lorsqu'il a un 2 dans 25% des cas)

Avec la même présentation je donne les résultats pour d'autres positions pertinente de la partie:

1/39:
PGO=0.0867494,
{o1 -> 1., o2 -> 1.}  //logique s'il n'ouvre pas il perd sans condition
{s1 -> 0., s2 -> 1.}

2/38:
PGO=0.112047,
{o1 -> 0.260645, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.32851}

3/37:
PGO=0.131828,
{o1 -> 0.22538, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.116341}

4/36:
PGO=0.155698,
{o1 -> 0.108823, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.132426}

5/35:
PGO=0.17845,
{o1 -> 0.0612091, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.0532191}

6/34:
PGO=0.211763,
{o1 -> 0.132125, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.459178}

RQ:On remarque un comportement non monotone et très variable dans ces positions de jeux je pense que ceci vient du fait que si on va jusqu’à la découverte des carte la manche gagne la partie directement. Sauf justement en 6/34 la ou le comportement change brutalement.

17/23 et 18/22 semblent être les positions les plus équitables pour ce jeu (en terme de probabilité de gagner)

20/20:déjà vu.

34/6:
PGO=0.864093,
{o1 -> 0.0949497, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.268418}

35/5:
PGO=0.883538,
{o1 -> 0.297699, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.230539}

36/4:
PGO=0.904201,
{o1 -> 0.117005, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.283704}

37/3:
PGO=0.921087,
{o1 -> 0.0394747, o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 0.198327}

38/2:
PGO=0.943854,
{o1 -> 0., o2 -> 1.}
{s1 -> 0., s2 -> 1.}//Valeur aberrante  devrait être 1.

NB: en fait non ça ne "devrait" pas être 1 c'est juste un cas dégénéré ou ça ne change rien. Car si l'ouvreur joue bien en fait qq soit la fréquence de suivi à 1 ça revient a une manche perdue. Généralement se demander comment jouer pour minimiser ce qu'on perd si l'autre joue au mieux contre notre stratégie suffit à en élire une seule bonne, ici c'est un cas dégénéré n'importe quelle valeur de s1 donne pareil, on pourrait se poser des questions au second ordre du genre quitte à ce que ça ne change rien comment jouer si l'autre ne jouait pas parfaitement.... (ce que le programme ne fait pas, pour lui c'est kifkif). Je pense que seul 38/2 39/1 souffre de cette dégénérescence.

39/1:
PGO=0.95789,
{o1 -> 0., o2 -> 0.}
{s1 -> 1., s2 -> 0.772549} //Valeur aberrante  devrait être 1.

J'ai choisi de laisser la valeur aberrante pour ne pas tricher et bien rappeler que c'est une approximation numérique par itération. Cependant je ne m'explique pas trop pourquoi le programme converge si mal pour la position 39/1 et je continue de croire que les autres valeurs sont très fiables et pas uniquement qualitativement(même si le comportement global est en lui même déjà intéressant).

Pour toute question précise message perso.