Selon moi pour obtenir le produit max il faut que les trois nombres soit au plus près de 23/3 (soit 7,66666667)
On a donc
Nombres entiers : 8;8;7 -> produit = 448
1 chiffre après la virgule 7,7; 7,7; 7,6 -> produit = 450.604
2 chiffres après la virgule 7,67; 7,67; 7,67 -> produit = 450,629374
3 chiffres après la virgule 7,667; 7,667; 7666 -> produit = 450,629627074
....
n chiffres après la virgule 7,666...7; 7,666...7; 7666...6 -> produit = 450.629629629....

Bon je reprends, car comme un imbécile je me suis limité un trois nombres pour la somme

Cette erreur m'a permis de gagner un peu de temps pour le raisonnement général j'ai donc fais le même raisonnement pour
- une somme de un nombre (inutile je sais) : on a donc 23/1=23 donc le nombre doit se rapprocher au plus de 23, le produit pour n décilames donne 23
- Une somme de deux nombres : 23/2=11,5. Le produit pour n décimales donne 132.25 (ici 11,5*11,5)
- ....
- Une somme de sept nombres: 23/7=3,286, le produit pour n décimales donne 4134,36 (3,286^7)
- Une somme de huit nombres : 23/8=2,875, le produit pour n décimales donne 4667,698
- Une somme de neuf nombres : 23/9=2,556, le produi tpour n décimales donne 4649,09

J'en conclu donc que le produit max est pour 8 nombres et devant se rapprocher au mieux de 2,875
Au final j'ai pour
nombres entiers 3 3 3 3 3 3 3 2 ->4374
1 chiffre après la virgule 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9 2,8 2,8 -> 4663,41
2 chiffres après la virgule 2,88 2,87 2,88 2,87 2,88 2,87 2,88 2,87 -> 4667,64
3 chiffres après la virgule 2,875 (huit fois) ->4667,698

J'espère que c'est bon (mon raisonnement est bizarre mais bon chacun fait avec ses moyens)

Ce sujet a déjà été traité ici

la réponse est
pour la somme: 23=3+3+3+3+3+3+3+2
pour le produit: 3*3*3*3*3*3*3*2 = 4374

Si on ne se limite pas aux entiers on peut faire:
pour 1 chiffre apres la virgule, il semblerait que l'on obtienne le maximum avec:
23 = 2.9 + 2.9 + 2.9 + 2.9 + 2.9 + 2.9 + 2.8 + 2.8
et
2.9 * 2.9 * 2.9 * 2.9 * 2.9 * 2.9 * 2.8 * 2.8 = 4663.41483664

pour 2 chiffres apres la virgule, il semblerait que le maximum soit:
23 = 2.88 + 2.88 + 2.88 + 2.88 + 2.87 + 2.87 + 2.87 + 2.87
et
2.88 * 2.88 * 2.88 * 2.88 * 2.87 * 2.87 * 2.87 * 2.87 = 4667.6419887309520896

pour 3 chiffres apres la virgule:
23 = 2.875 + 2.875 + 2.875 + 2.875 + 2.875 + 2.875 + 2.875 + 2.875
et
2.875 * 2.875 * 2.875 * 2.875 * 2.875 * 2.875 * 2.875 * 2.875 = 4667.69846

le produit sera le plus grand si l'écart entre les nombres sont faible... on a donc:
23/3 = 7.66666 on cherche donc les valeurs approchées :

entier :
7 - 8 - 8
1 chiffre après la virgule :
7.6 - 7.7 - 7.7

2 chiffres :
7.66 - 7.67 - 7.67

de même avec n chiffres on obtiendrait :
7.6...6 - 7.6...67  - 7.6...67


EDIT :
han le boulet, je m'étais limité a 3 chiffres, bien vu !!

Bravo à tous ce qui ont répondus mais on ne se restreignait pas à 3 termes dans la somme.