Je ne détaille pas tous les petits raisonnements, mais l'idée générale de la solution.

On se ramène à rechercher (x,y,z) trois entiers >0 tels que 2017x+1789y=1492z (il faut aussi considérer les cas où c'est 2017x, ou alors 1789y qui sont tous seuls, mais ils conduisent à de moins bonnes solutions).

On résout déjà 2017x+1789y=1 dans Z avec par exemple l'algorithme d'Euclide étendu. On trouve une solution particulière x=-102 et y=115.

On résout ensuite 2017x+1789y=1492z dans Z, en multipliant la solution particulière par 1492z. Les solutions sont du type :
* x = -152184z+1789k
* y = 171580z-2017k, avec k dans Z.

Donc on recherche le plus petit z tel qu'il existe k dans N tel que -152184z+1789k>0 et 171580z-2017k>0.

Ceci fournit 152184z/1789 < k < 171580z/2017.
En supprimant la partie entière, on obtient 119z/1789 < k' < 135z/2017 : on cherche le premier z tel que ces deux quotients encadrent un entier.

La première valeur de z qui convient est 15. On en déduit k=1276, x=4 et y=8, soit finalement :

2017*5+1789*9+1492*1=2017*1+1789*1+1492*16=27678.

On obtient facilement un S qui s'exprime avec 100 triplets distincts : il suffit de multiplier 119/1789 et 135/2017 par un z suffisamment grand pour que l'écart entre eux deux contienne au moins 99 entiers.

Par exemple, avec z=241000, on calcule x = -152184z+1789k et y = 171580z-2017k pour k entre (20485000+16031) et (20485000+16130), et on en déduit 100 sommes différentes valant 359577298.

Soient [latex]\underline{u}=\begin{pmatrix}2017\\ 1789\\ 1492\end{pmatrix}[/latex] et [latex]\underline{v}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in \mathbb{N^*}^3[/latex]

On cherche l'intersection de [latex]\mathbb{N}^3[/latex] avec le plan d'équation [latex]\underline{u}\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\underline{u}\cdot \underline{v}[/latex]

Les solutions sont de la forme [latex]\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\underline{v}+\underline{w}[/latex] avec [latex]\underline{w} \in \mathbb{Z}^3,\, \underline{u}\cdot \underline{w}=0[/latex]

On considère donc une base orthogonale du plan : [latex][\underline{o_1},\underline{o_2}]=[\begin{pmatrix}-1789\\ 2017\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1504682\\ 1334594\\ -3634405\end{pmatrix}][/latex]

Tout vecteur [latex]\underline{w}[/latex] s'écrit alors [latex]\underline{w}=d\underline{o_1}+e\underline{o_2}[/latex] avec [latex]d\in \mathbb{Z},\, e\in \mathbb{Z}[/latex] puisque les composantes des vecteurs de la base n'ont pas de facteurs premiers communs.

Application pour 2 solutions :

On chercher maintenant le plus petit scalaire [latex]\underline{u}\cdot \underline{v}[/latex] tel qu'il existe un unique vecteur [latex]\underline{w}[/latex] vérifiant [latex]\underline{v}+\underline{w}\in\mathbb{N^*}^3[/latex]

Minimiser [latex]\underline{u}\cdot \underline{v}[/latex] c'est minimiser [latex]2017a+1789b+1492c[/latex]

Soit la fonction [latex]\phi : x \mapsto \frac{|x|+x}{2}[/latex]

Alors la condition de positivité sur la solution supplémentaire [latex]\underline{v}+\underline{w}[/latex] s'écrit :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1+\phi(1789d-1504682e) \\ b &\geq 1+\phi(-2017d-1334594e)\\ c &\geq 1+\phi(3634405e) \end{cases}[/TeX]
Si [latex]e=0[/latex] et [latex]d>0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1+1789d\\ b &\geq 1\\ c &\geq 1\end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298+3608413d[/latex]

Elle est minimale pour [latex]d=1[/latex] ou elle vaut [latex]3613711[/latex]

Si [latex]e=0[/latex] et [latex]d<0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1\\ b &\geq 1-2017d\\ c &\geq 1\end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298-3608413d[/latex]

Elle est minimale pour [latex]d=-1[/latex] ou elle vaut [latex]3613711[/latex]

Si [latex]1789d-1504682e>0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e<0[/latex] et [latex]e>0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1+1789d-1504682e \\ b &\geq 1\\ c &\geq 1+3634405e \end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298+3608413d+2387588666e[/latex]

Elle est minimale pour [latex]d=842[/latex] et [latex]e=1[/latex] ou elle vaut [latex]5425877710[/latex]

Si [latex]1789d-1504682e>0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e<0[/latex] et [latex]e<0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1+1789d-1504682e \\ b &\geq 1\\ c &\geq 1\end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298+3608413d-3034943594e[/latex]

Elle est minimale pour [latex]d=662[/latex] et [latex]e=-1[/latex] ou elle vaut [latex]5423718298[/latex]

Si [latex]1789d-1504682e>0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e>0[/latex] et [latex]e>0[/latex] :

Impossible.

Si [latex]1789d-1504682e<0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e<0[/latex] et [latex]e>0[/latex]:
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1 \\ b &\geq 1\\ c &\geq 1+3634405e \end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298+5422532260e[/latex]

Elle est minimale pour [latex]e=1[/latex] et [latex]d>662[/latex] ou elle vaut [latex]5422537558[/latex]

Si [latex]1789d-1504682e<0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e>0[/latex] et [latex]e>0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1 \\ b &\geq 1-2017d-1334594e\\ c &\geq 1+3634405e \end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298-3608413d+3034943594e[/latex]

Elle est minimale pour [latex]e=1[/latex] et [latex]d=-661[/latex] ou elle vaut [latex]5420109885[/latex]

Si [latex]1789d-1504682e<0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e<0[/latex] et [latex]e<0[/latex] :

Impossible.

Si [latex]1789d-1504682e>0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e>0[/latex] et [latex]e<0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1+1789d-1504682e\\ b &\geq 1-2017d-1334594e\\ c &\geq 1 \end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298-5422532260e[/latex]

Elle est minimale pour [latex]e=-1[/latex] et [latex]d<662[/latex] ou elle vaut [latex]5422526962[/latex]

Si [latex]1789d-1504682e<0[/latex] et [latex]-2017d-1334594e>0[/latex] et [latex]e<0[/latex] :
[TeX]\begin{cases}a &\geq 1 \\ b &\geq 1-2017d-1334594e\\ c &\geq 1 \end{cases}[/TeX]
La somme pondérée des minorants vaut alors [latex]5298-3608413d-2387588666e[/latex]

Elle est minimale pour [latex]e=-1[/latex] et [latex]d=-842[/latex] ou elle vaut [latex]5425877710[/latex]

On en déduit en conservant la plus petite minoration, obtenue pour [latex]d=1[/latex] et [latex]e=0[/latex], le vecteur [latex]\underline{v}=\begin{pmatrix}1790\\ 1\\ 1\end{pmatrix}[/latex]

Puis [latex]\underline{u}\cdot \underline{v}=3613711[/latex] qui est donc le plus petit scalaire à pouvoir s'écrire avec deux triplets : [latex]\underline{v}=\begin{pmatrix}1790\\ 1\\ 1\end{pmatrix}[/latex] et [latex]\underline{v}+\underline{w}=\begin{pmatrix}1\\ 2018\\ 1\end{pmatrix}[/latex]

Application pour 100 solutions :

Même chose sauf que l'on considère [latex]d=99[/latex] ce qui nous mène à [latex]\underline{v}=\begin{pmatrix}177112\\ 1\\ 1\end{pmatrix}[/latex]

Puis [latex]\underline{u}\cdot \underline{v}=357238185[/latex] qui est donc le plus petit scalaire à pouvoir s'écrire avec 100 triplets : [latex]\underline{v},\,\underline{v}+\underline{w},\,\underline{v}+2\underline{w},\,...\, ,\underline{v}+99\underline{w}[/latex]

J'ai apporté quelques modifications et je trouve maintenant des résultats bien plus petits

La manière la plus simple, à mon avis, d'aborder le problème est de trouver des substitutions en partant d'une solution triviale.

1 solution pour 2017 + 1789 + 1492 = 5298. ( 1,1,1 )

On cherche ensuite à résoudre l'équation :

2017 x + 1789 y = 1492 z
1492 ( x + y ) + 525 x + 297 y = 1492 z
Et donc 525 x + 297 y = 1492 n
(on peut recommencer si on le souhaite.)
On trouve assez facilement une solution : x = 4 , y = 8 et n = 3.

On a donc : 4 * 2017 + 8 * 1789 = 15 * 1492 = 22380

Si on a un certain nombre de solutions pour N, on en aura donc autant pour N + 22380 , plus une obtenue par substitution.

=> pour 5298 + 22380 : (5,9,1) et ( 1,1,16 )

On peut donc déjà prévoir que pour 5298 + 99 * 22380 = 2 220 918 il y aura au moins 100 solutions


Mais, on peut aussi chercher à substituer 1789 :

De la même façon, on trouve 2017 * 119 + 1492 = 1789 * 135 autrement dit, à partir de la 17e substitution 1 , j'ai 17 * 8  = 136  coeff de 1789 en réserve. On peut donc faire la seconde.

Il y a alors 2 solutions de plus tous les 22380 et un nouvel optimum est donc

363378 + 72 * 22380 / 2 = 1 169 058 pour au moins 100 solutions

On refait la même chose avec 2017, puis avec d'autre substitutions pour lesquelles wolfram aide un peu :

On arrive à un optimum estimé de 1080229 pour 100 solutions minimum.

Et ensuite, on en a marre, donc on utilise un petit programme qui donne beaucoup plus vite un optimum par dichotomie en testant par tranche de 22380.

Le plus petit nombre pour 100 solutions est 997561.

Bonjour,
1) Recherche d'un petit triplet tel que : 2017*a + 1789*b + 1492*c = 0
   (a,b,c) = (4,8,-15)
2) Pour 2 triplets donnant la même somme 27678
   (1,1,16), (5,9,1)
3) Pour 100 triplets donnant la même somme 2220918
   ((1,1,1486), ....., (397,793,1)
(décalage de (4,8,-15) pour passer d'un triplet au suivant)