Bravo a gabrielduflot pour avoir trouvé quelques valeurs, et aussi pour avoir tenté de dérouler un peu les calculs.

Des triplets comme ça, il y en a une infinité. On va maintenant prouver cette affirmation et, tant qu'on y est, fournir des formules pour les trouver.

Comme indiqué en note dans le problème précédent (petite remarque 2) [latex]s=x+y+z+2xyz-2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/latex] devrait être nul si notre produit est un carré.
[TeX]x+y+z+2xyz=2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/TeX]
On passe tout au carré, on simplifie et on trouve:
[TeX]x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2xz+4[/TeX]
On va ensuite poser x=a-r, y=a et z=a+r. On remplace, on simplifie et on a alors:
[TeX]3a^2=4r^2-4[/TeX]
De là, on en déduit que a est forcément pair, et on va poser a = 2a'
[TeX]r^2 -3a'^2 = 1[/TeX]
C'est là que ça se corse un peu. Ce type d'équation n'est pas très dur à résoudre, mais ça fait partie de ce qu'on n'apprend malheureusement pas à l'école... Bref, ça s'appelle une équation de Pell (ou de Pell-Fermat, dans la littérature française). Pour la résoudre avec des valeurs entières, on commence par trouver une paire de valeur qui marche, et on en déduit d'autres. Pour trouver des valeurs qui marchent, il y a plusieurs méthodes. Celle que je préfère est celle des fractions continues.

Petit aparté: toute racine carré peut être approchée via une série de fractions continues.Par exemple
[TeX]\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}}, \sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+...}}}}}}[/TeX]
Pour résoudre une équation de Pell, de la forme x²-D.y²=1, il faut tout d'abord trouver une solution initiale. Pour cela, on écrit le développement en fraction continues de [latex]\sqrt{D}[/latex], notées [latex]\frac{A_i}{B_i}[/latex]. On trouve (en général très vite) une valeur de i pour laquelle [latex]A_i^2-D.B_i^2=1[/latex]
Partant de cette solution notée [latex](x_1, y_1)[/latex], on peut en déduire d'autres: [latex]x_k+y_k\sqrt{D} = (x_1+y_1\sqrt{D})^k[/latex]
Ce qui signifie que dans la décomposition du terme de droite sous forme de binôme de Newton, les termes où la racine est avec une puissance paire sont additionnés pour donner une nouvelle valeur de x, et les autres pour donner une nouvelle valeur de y.
Autrement dit, [latex]x_k-y_k\sqrt{D} = (x_1-y_1\sqrt{D})^k[/latex]
En additionnant/soustrayant les deux, on a
[TeX]
x_k = \frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^k + (x_1-y_1\sqrt{D})^k}{2}\\
y_k = \frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^k - (x_1-y_1\sqrt{D})^k}{2\sqrt{D}}
[/TeX]
On applique tout ça à notre problème: on trouve rapidement que r=2 et a'=1 conviennent, et on trouve donc
[TeX]
r_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k}{2}\\
a_k = \frac{(2+\sqrt{3})^k - (2-\sqrt{3})^k}{\sqrt{3}}\\
[/TeX]
On peut aussi présenter ce résultat différemment (en déroulant les binômes de Newton et en retirant les termes qui s'annulent)
[TeX]
a_{2k} = \sum_{j=0}^{k-1}C_{2k}^{2j+1}4^{k-j}3^j \\
r_{2k} = \sum_{j=0}^{k}C_{2k}^{2j}4^{k-j}3^j \\
\\
a_{2k+1} = 2\sum_{j=0}^{k}C_{2k+1}^{2j+1}4^{k-j}3^j \\
r_{2k+1} = 2\sum_{j=0}^{k}C_{2k+1}^{2j}4^{k-j}3^j
[/TeX]
Vérifions nos formules en écrivant quelques termes.
[TeX]a_1 = 2, r_1 = 2, (0.2+1)(0.4+1)(2.4+1) = 9 = 3^2\\
a_2 = 8, r_2 = 7, (1.8+1)(1.15+1)(8.15+1) = 17424 = 132^2\\
a_3 = 30, r_3 = 26, (4.30+1)(4.56+1)(30.56+1) = 45765225 = 6765^2 \\
a_4 = 112, r_4 = 97, (15.112+1)(15.209+1)(112.209+1) = 123403258944 = 351288^2[/TeX]
Voilà.

Pour la littérature:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quat … ell-Fermat
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_c … uadratique

Salut scarta,

Merci pour cette démonstration. J'ai pris plaisir à la lire, faute d'avoir pu prendre le temps de chercher.

Je pense qu'il y a une coquille au début de ton second post de réponse:
Tu écris:
[TeX]a_{n+1}=4.a_n-a_{n+1}[/TeX]
Mais tu démontres:
[TeX]a_{n+1}=4.a_n-a_{n-1}[/TeX]
Idem pour les [latex]r_n[/latex]

J'ai vraiment lu
PS: Vraiment dommage qu'on ne puisse pas copier/coller une expression LaTeX...

rivas a écrit:

PS: Vraiment dommage qu'on ne puisse pas copier/coller une expression LaTeX...

Cite le message avec le latex et tu récupères le source dans ta fenêtre d'édition ;-)

Nicouj a écrit:

rivas a écrit:

PS: Vraiment dommage qu'on ne puisse pas copier/coller une expression LaTeX...

Cite le message avec le latex et tu récupères le source dans ta fenêtre d'édition ;-)

MERCI. MERCI. MERCI.