Le but de cette nouvelle énigme (je l'avoue plus difficile que la précédente) est de déterminer le plus petit entier naturel $n$ qui vérifie : 
Il existe $n$ entiers relatifs $a_1, a_2, ..., a_n$ tels que :
$$a_1^3+a_2^3+ ... + a_n^3 = 2012^{2011^{2010^{2009^{...^{2^{1}}}}}}.$$
Remarque sémantique :Spoiler : [Afficher le message]
ATTENTION : on ne demande pas de trouver les nombres $a_1, a_2,..., a_n$ , mais seulement (et c'est déjà pas mal)  l'entier naturel $n$.


Deux indices
Indice 1:Spoiler : [Afficher le message] on pourra admettre que 2012 est une somme de 4 cubes d'entiers et pas moins. (On pourra aussi le démontrer ) .

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message]  on pourra admettre que $2012^{2011^{2010^{...^{2^1}}}}$ ne peut pas être une somme de 3 cubes d'entiers.(On pourra le démontrer )