mon énigme ne plait pas !! snif snif snif
je donnerais la réponse dans un petit moment.

ça revient à trouver la décomposition de 2012....

Car la puissance est un 3k+1....2011=1 mod3, et reste 1 quelle que soit la puissance.
Sinon, 2012 se décompose en la somme de 3 ou 4 termes (3 si on a de la chance et 4 sinon)
As tu trouvé cette décomposition ?

Utilisons les notations suivantes qui permettrons de tuer cette colonne d'exposants :
$$N = 2012^{2011^{2010^{...^{2^1}}}}=2012^{2011^\alpha}$$
Admettons (pour l'instant) les trois résultats suivants :
$$\begin{tabular}{|l|} \hline \text{1) } \alpha>0 \text{ donc } 2011^\alpha-1 \text{ est un multiple de 3. Il existe donc un entier } K \text{ tel que } 2011^\alpha-1=3K. \text{2) }2012=11^3+8^3+8^3-7^3 \text{, sans que l'on puisse utiliser moins de cubes.} \text{3) } 2012^{2011^{\alpha}} \text{ n'est pas une somme de 3 cubes d'entiers.} \hline \end{tabular}$$
Démontrons que $2012^{2011^{\alpha}}$ est une somme de 4 cubes d'entiers :


D'après 1), on peut donc écrire qu'il existe un entier $u$ qui vérifie :
$$2012^{2011^{\alpha}-1}=2012^{3K}$$
$$=\(2012^K\)^3$$
$$=u^3[/latex]       (*) Il ne reste plus qu'à écrire que :                     [latex] 2012^{2011^{\alpha}-1} = \frac{2012^{2011^\alpha}}{2012}$$
Donc :
$$2012^{2011^\alpha}=2012\times2012^{2011^{\alpha}-1}$$
$$=2012\times u^3[/latex]   (d'après (*)) En utilisant le résultat 2) il vient :                    [latex]2012^{2011^\alpha} = (11^3+8^3+8^3-7^3)\times u^3$$
$$=(11u)^3+(8u)^3+(8u)^3+(-7u)^3$$
Notre nombre N est donc une somme de 4 cubes d'entiers, on conclut en évoquant le résultat 3).


Un bref retour sur les résultats admis en première lecture :
$\bullet$ le premier est un résultat classique sur les congruences, il se démontre facilement en regardant le reste modulo 3 de 2011;
$\bullet$ le deuxième se démontre facilement en remarquant qu'en travaillant modulo 9, 2012 ne peut pas être une somme de 3 cubes;
$\bullet$ le troisième, pareil, cela se passe "modulo 9", c'est un peu plus long que le point précédent.