Le but de cette nouvelle énigme (je l'avoue plus difficile que la précédente) est de déterminer le plus petit entier naturel $n$ qui vérifie : 
Il existe $n$ entiers relatifs $a_1, a_2, ..., a_n$ tels que :

on pourra admettre que 2012 est une somme de 4 cubes d'entiers et pas moins. (On pourra aussi le démontrer )

  on pourra admettre que $2012^{2011^{2010^{...^{2^1}}}}$ ne peut pas être une somme de 3 cubes d'entiers.(On pourra le démontrer )