$$\phi^2 = \phi + 1$$
Donc $\phi^3 = \phi \times \phi^2 = \phi \times ( \phi + 1 ) = \phi^2 + \phi = 2 \phi + 1$

De la même manière : $\phi^4 = 3 \phi + 2$, puis $\phi^5 = 5 \phi + 3$.

Généralisons un peu : si $\phi^n = a \phi + b$ alors
$$\begin{align}\phi^{n+1} &= \phi \times \phi^n \\ &= \phi \times (a_n \phi + b_n) \\ &= a_n \phi^2 + b_n \phi \\ &= a_n (\phi + 1) + b_n \phi \\ \phi^{n+1} &= (a_n+b_n) \phi + a_n \end{align}$$
Donc $\left\{ \begin{align} a_{n+1} &= a_n + b_n \\ b_{n+1} &= a_n \end{align} \right.$ d'où on tire $b_{n+2} = b_{n+1} + b_n$. Oh tiens, le retour de Fibonacci !

On ajoute des conditions initiales : $b_0 = 1$ ; $b_1 = 0$. On peut en déduire la suite des coefficients $b_n$ à partir de $n=0$, ainsi que celle des $a_n$ :

a : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 35 ; 56 ; etc.
b : 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;   8 ; 13 ; 21 ; 35 ; etc.

D'ailleurs, comme par hasard, l'expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci fait intervenir $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et son petit camarade $\phi ' = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, c'est-à-dire les deux solutions de $x^2 = x+1$, qui est l'équation caractéristique de la suite $\{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}}$. La preuve en Wikipedia :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_F … ctionnelle

Donc $\left\{ \begin{align} a_n &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \left( \phi ' \right)^n \right) \\ b_n &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^{n-1} - \left( \phi ' \right)^{n-1} \right) \end{align} \right.$ pour tout $n \geq 1$ (à cause du $n-1$ qui traîne dans une définition, je n'ai pas envie de descendre jusqu'à zéro).

Sous vos applaudissements. (A moins que je n'aie fait une erreur de signe quelque part )

Bonsoir Lagaway,

Merci d'avoir posté une énigme pour notre plaisir. Ne t'arrête pas à la première.
Pour une raison que j'ignore le \phi ne m'affiche pas un phi en LaTeX...

1. ${\phi}^3=\phi.\phi^2=\phi.(\phi+1)=\phi^2+\phi=(\phi+1)+\phi=2\phi+1$
De même:
$$\phi^4=3\phi+2$$
$$\phi^5=5\phi+3$$
2. On reconnait dans les coefficients 'a' et 'b' les nombres de Fibonacci.
On conjecture: $\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$

Montrons le par récurrence:
C'est vrai pour 2, 3, 4 et 5 (voir ci-dessus).
Supposons que ça soit vrai pour n >= 2.
$$\phi^{n+1}=\phi.(F_n\phi+F_{n-1})=F_n(\phi+1)+F_{n-1}\phi=(F_n+F_{n-1})\phi+F_n=F_{n+1}\phi+F_n$$
Ce qui établit la propriété au rang n+1 et le principe de récurrence nous permet de conclure.

3. Je ne comprends pas bien la question.
On a évidemment:
$$\phi^n=(\dfrac{(1+\sqrt{5})}{2})^n$$
On l'a aussi exprimé au 2 en fonction de n
Attends-tu autre chose?

En tout cas merci.

$$\phi^n=F_n \phi +F_{n-1}[/latex] avec [latex]F_n[/latex] le nieme terme de la suite de Fibonacci dont les premiers termes sont [latex]F_0=0 F_1=1 F_2=F_0+F_1=1 F_3=1+1=2 F_4=1+2=3 F_5=2+3=5 F_6=3+5=8$$
Démonstration
[TeX]\phi^1=F_1 \phi +F_0=\phi[/latex]; houa quelle surprise!
$\phi^2=F_2 \phi +F_1=\phi +1$; jusque là c'est easy
[latex]\phi^{n+1}=\phi \time \phi^n=F_n \phi^2 +F_{n-1}\phi=F_n(\phi +1) +F_{n-1}\phi=(F_n+F_{n-1})\phi +F_n=(F_{n+1})\phi +F_n[/TeX]
cqfd

Re-bonjour.

Je crois que tu tournes en rond à propos du 3.
Les $F_n$ s'expriment en fonction de phi et de ses puissances.
Tu trouveras facilement la formule (et plein d'autres infos) ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
Mais la formule devient alors beaucoup plus compliqué et ce n'est pas vraiment utile en soi.

On a déjà exprimé phi^n sous la forme a.phi+b dans le 2.
Je suis un peu dérouté.

Lagaway a écrit:

PS: je pense que l'expression proposée par Mathias est bonne (j'ai pas encore vérifié) mais ça complique drôlement l'affaire !!!

Tu voulais ton a phi + b, ben tu l'as

Bravo à tous pour vos réponses.

Comme vous me l'avez fait remarquer, la question n°3 était en fait un peu (beaucoup) boiteuse (pour ne pas dire *oireuse) puisque le fait d'exprimer phi^n en fonction de n sous la forme a(n)*phi+b(n) fait apparaitre phi^n dans la réponse...

Merci pour votre participation.

$\varphi$ = latex \varphi /latex

De façon générale, si tu laisses le pointeur de ta souris sur une équation dans un message, le code apparaît en "info-bulle". Sinon sur ce lien, y a pas mal d'infos aussi.

Je ne me souvenais plus du \varphi, j'ai essayé \phi et \Phi, sans grand résultat ($\phi$ et $\Phi$ respectivement)...

Donc, penser à rajouter "var" à chaque lettre grecque si c'est pour un document français.

Merci du tuyau, mon cher