Si ce polynome est x/(x+1) il prendra la valeur 2012/2013 .

Ou alors le terme de puissance 2011 doit être non nul ?

Ah oui, c'est pas faux, c'est une fonction Autant pour moi !

Très bien vu Looping

La solution est plus courte si on reste sur le cas 2012 !

@Nodgim  : les gâteaux , je ne sais faire que ça

la reponse me semble tellement simple que je me demande s'il n'y pas un piege:
2012/2011

On considère
P1(x) = (x+1)P(x) - x de degré 2012 et de racine (0, 1,...2011) donc
P1(x) = x(x-1)(x-2)...(x-2011)*cte

On cherche la constante:
P1(-1) = 1
donc
cte = 1/2012!
donc
P1(2012)=2012!*(1/2012!)=1

P(x) = (P1(x) + x)/(x+1)
donc:
P(2012) = (1 + 2012)/2013 = 1

Salut, tu as raison, j'ai été légé en explication. J'espère fournir une explication originale

Notons [latex]P[/latex], le polynôme de degré 2011 satisfaisant les contraintes de l'énoncé de l'énigme. (Il existe : par exemple le polynôme interpolateur de Lagrange.  Et il est unique car s'il y en avait deux différents le polynôme égal à la différence de ces deux là serait de degré 2011 et aurait 2012 zéros ce qui est absurde ).

Pour ma part, je considère l'unique polynôme de degré 2011, qui prend les valeurs [latex]\frac{1}{2},\frac{2}{3}, ..., \frac{2011}{2012},1[/latex] sur les entiers [latex]1,2,...,2011,2012[/latex].
Ce polynôme existe et il est unique (même raison) . Notons [latex]Q[/latex] ce polynôme et notons [latex]n=2011[/latex].
[TeX]Q(X) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(X-1)...\widehat{(X-i)}...(X-(n+1))}{(i-1)..1\times(-1)...(i-(n+1))}\frac{i}{i+1}+ \frac{(X-1)...(X-n)}{n!}[/TeX]
Evaluons ce polynôme en [latex]0[/latex] :
[TeX]Q(0) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}(n+1)!}{i!(n+1-i)!}\frac{i}{i+1}+ (-1)^n[/TeX]
Or [latex]\frac{i}{i+1}=1-\frac{1}{1+i}[/latex], donc :
[TeX]Q(0) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}(n+1)!}{i!(n+1-i)!} - \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}(n+1)!}{(i+1)!(n+1-i)!} + (-1)^n[/TeX]
On voit apparaître le coefficient binomial dans les deux sommes
[TeX]Q(0) = -\sum_{i=1}^{n}({}^{n+1}_i)(-1)^i - \frac{1}{n+2}\sum_{i=1}^{n}({}^{n+2}_{i+1})(-1)^{i+1} + (-1)^n[/TeX]
En corrigeant les sommes et en ré-indexant, il vient :
[TeX]Q(0) = -\sum_{i=0}^{n+1}({}^{n+1}_i)(-1)^i +(-1)^{n+1}+1 - \frac{1}{n+2}\left(\sum_{i=0}^{n+2}({}^{n+2}_{i})(-1)^{i}-1+(n+2)-(-1)^{n+2}\right) + (-1)^n[/TeX]
Or, classiquement [latex]\sum_{k=0}^{n}({}^{n}_k)(-1)^k = (-1+1)^n=0[/latex], il reste :
[TeX]Q(0)= 1-\frac{1}{n+2}(n+1+(-1)^{n+1})[/TeX]
Or [latex]n=2011[/latex] est impair, donc il reste :
[TeX]Q(0)=0[/TeX]
Par unicité des polynômes [latex]P[/latex] et [latex]Q[/latex], on peut conclure que : [latex]P(X)=Q(X)[/latex]. Donc, en particulier :

[latex]P(2012) = Q(2012) = 1 [/latex] (par construction de [latex]Q[/latex])

Voici une petite colle qui m'a replongé dans ma jeunesse.

Je pose Q(X)=(X+1)P(X)-X (1)
Q est un polynôme de degré 2012.
Pour tout n entier de 0 à 2011, Q(n) vaut 0.
On connaît donc 2012 racines de Q polynôme de degré 2012, c'est-à-dire toutes ses racines.
On peut donc écrire:
Q(X)=k.(X-0)(X-1)...(X-2011) ou k est le coefficient directeur de Q à déterminer.
On regarde Q(-1) à cause du (X+1) dans sa définition (merci pour le MP).

Q(-1)=1 (d'après (1)).
Donc k.2012!=1.

Finalement Q(2012)=1=2013.P(2012)-2012.

Et donc P(2012)=1

Merci encore pour cette énigme.

Bonjour,
Soit P(n) ce polynôme de degré 2011
Pour n valant de 0 à 2011, on a: P(n) = n / (n+1)
Le polynôme (n+1).P(n) - n est de degré 2012 et s'annule 2012 fois
On peut donc écrire (n+1).P(n) – n = k.produit(n-i), i valant de 0 à 2011
Et par conséquent, P(n) = [k.produit(n-i) + n] / (n+1), i valant de 0 à 2011
Ou en sortant n, P(n) = [k.produit(n-i) + 1].n / (n+1), i valant de 1 à 2011
Pour que P(n) soit un polynôme, il faut que (n+1) divise le numérateur, ou que
n=-1 annule ce numérateur, d’où k = -1 / produit(-1-i), i valant de 1 à 2011, qui
s’écrit encore k = 1 / 2012!
Par conséquent, P(n) = [produit(n-i) / 2012! + 1].n / (n+1), i valant de 1 à 2011
On aura donc: P(2012) = (2011! / 2012! + 1) x 2012 / 2013, soit:
P(2012) = 1
Bonne journée à tous
Frank

Oh, ok, je comprends, tu attendais une réponse plus traditionnelle (j'aimais bien l'autre pourtant ). Peut être un truc du genre:

Soit [latex]P[/latex] le polynôme qui satisfait les contraintes de l'énoncé.
On considère le polynôme [latex]Q(X)=P(X)(X+1)-X[/latex]

clairement, [latex]Q[/latex] est de degré n+1 avec n+1 racines : [latex]0,1,...,n[/latex]   (où n=2011 c'est plus court à écrire avec n non ?)
La factorisation (non triviale sic !) de [latex]Q[/latex] donne :
[TeX]Q(X)=X(X-1)(X-2)...(X-n)\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}[/TeX]
Ensuite ,
[TeX]Q(2012) = Q(n+1)=(-1)^{n+1}[/TeX]
Puis
[latex]P(2012)=P(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2}=1 [/latex](par parité de n)


Quoi ???
Il y a encore plus simple ??

Pour trouver le coefficient dominant de [latex]Q[/latex], on peut tenter n'importe quelle évaluation dans l'égalité :

[latex]X(X-1)...(X-n)a = P(X)(X+1) -X[/latex] (où [latex]P[/latex] est le polynôme Polynôme satisfaisant les contraintes de l'énoncé).

Mais quelle que soit l'évaluation, on a besoin de travailler avec [latex]P[/latex] (me semble-t-il). La valeur la plus simple que j'ai trouvé, c'est l'évaluation en -1.  En effet, les calculs donnent presque immédiatement le coefficient [latex]a[/latex]. Mais j'avoue que je suis obligé d'écrire "presque".

Y a-t-il un moyen de déterminer ce coefficient d'une autre façon ?
Si oui, j'avoue que j'aimerai une piste (roooo je l'ai mérité non ? Deux solutions différentes pour l'énigme...J'ai bien travaillé non ? )

ah mais non, je ne me contredis pas, j'avoue dans les deux derniers messages  que le calcul du coefficient même si elle n'est pas compliqué dans le cas X=-1, reste quand même calculatoire. Or, il me semblait que tu évoquais une méthode très directe.

C'est pour cela que j'osais demander un indice (que je continue à demander )

rooo, tu es sévère.  Je pensais que tu aurais donné un indice.
J'en conclus, que la piste sans aucun calcul ne consiste pas à évaluer l'égalité
[latex]X(X-1)...(X-n)a = P(X)(X+1)-X[/latex] (sinon il y a au moins un calcul) .

Je suis donc contraint de me contenter des solutions apportées. Merci d'avoir pris le temps de répondre à mes messages.