Non Clément, P(0),P(1),...,P(n) sont des entiers relatifs (Z) et il s'agit de montrer que P(n+1),P(n+2),.... sont aussi des entiers relatifs. (Ne pas oublier que P est de degré n)

Sauf erreur le résultat se démontre facilement par récurrence .

Notons [latex]P_n[/latex] la propriété : tout polynôme de [latex]\mathbb{R}[X][/latex] de degré inférieur ou égal à [latex]n[/latex] prenant des valeurs entières pour les [latex]n+1[/latex] premiers entiers prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels .

La proposition est clairement vraie pour [latex]n=0[/latex] ( et même pour le polynôme nul ) . Supposons la propriété vérifiée jusqu'au rang [latex]n[/latex] et considérons un polynôme [latex]P[/latex] de degré [latex]n+1[/latex] prenant des valeurs entières sur chacun des [latex]n+2[/latex] premiers entiers .
[latex]Q(X)=P(X+1)-P(X)[/latex] est un polynône de degré inférieur ou égal à [latex]n[/latex] prenant des valeurs entières sur les [latex]n+1[/latex] premiers entiers , par hypothèse il prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels .
La relation [latex]P(X+1)=P(X)+Q(X)[/latex] entraîne que [latex]P[/latex] prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels , la récurrence est établie .

Vasimolo

La solution de Vasimolo est bonne, j'ajouterais simplement que [latex]P(n)=\sum_{i=1}^{n-1}Q(i)+P(0)[/latex] donc une fois qu'on a montré que [latex]Q[/latex] est à valeurs entières et puisque l'on sait que [latex]P(0)[/latex] est un entier, on a le résultat.