Non Clément, P(0),P(1),...,P(n) sont des entiers relatifs (Z) et il s'agit de montrer que P(n+1),P(n+2),.... sont aussi des entiers relatifs. (Ne pas oublier que P est de degré n)

Sauf erreur le résultat se démontre facilement par récurrence .

Notons $P_n$ la propriété : tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $n$ prenant des valeurs entières pour les $n+1$ premiers entiers prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels .

La proposition est clairement vraie pour $n=0$ ( et même pour le polynôme nul ) . Supposons la propriété vérifiée jusqu'au rang $n$ et considérons un polynôme $P$ de degré $n+1$ prenant des valeurs entières sur chacun des $n+2$ premiers entiers .
$Q(X)=P(X+1)-P(X)$ est un polynône de degré inférieur ou égal à $n$ prenant des valeurs entières sur les $n+1$ premiers entiers , par hypothèse il prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels .
La relation $P(X+1)=P(X)+Q(X)$ entraîne que $P$ prend des valeurs entières pour tous les entiers naturels , la récurrence est établie .

Vasimolo

La solution de Vasimolo est bonne, j'ajouterais simplement que $P(n)=\sum_{i=1}^{n-1}Q(i)+P(0)$ donc une fois qu'on a montré que $Q$ est à valeurs entières et puisque l'on sait que $P(0)$ est un entier, on a le résultat.