Je ne comprends pas l'énoncé...

Pour n=0 , tous les polynomes de la forme (x+2)(x+5)(x+k)(x+k').... marchent non ?
Ca fait plein de polynomes pour lesquels Q(-2) = Q(-5) = n =0

Edit : 2x5 = 10 donc pas valable...

Mais un contre-exemple quand même :

2 polynomes au moins  donnent Q(-2) = Q(-5) = n

x^3 + 6x^2 +3x +n -10

x^2 + 7x +n +10

Re Edit: n-10 ne peut pas être toujours entre 0 et 9, j'ai encore dit une idiotie...

J'ai trouvé l'existence pour n=0 à 20 ( après ou avant je n'ai plus le courage ) on sent bien que le -2 et le -5 en base (-2)*(-5) jouent un rôle , mais les histoires de polynômes sont souvent astucieuses .

On n'a pas le droit à un petit indice ?

Vasimolo

C'est vrai que vu comme ça c'est plus simple

Pour l'unicité :

On cherche un polynôme Q à coefficients entiers et avec Q(-2)=Q(-5)=n , c'est à dire Q(X)-n=(X+2)(X+5)R(X) . Comme (X+1)(X+5) est unitaire R est à coefficients  entiers il est de la forme :$R(X)=\sum_{i=0}^{\infty}a_iX^i$ les coefficients étant nuls à partir d'un certain rang . On développe Q :
$$Q(X)=(10a_0+n)+(7a_0+10a_1)X+(10a_2+7_a_1+a_0)X^2+...+(10a_p+7_{ap-1}+a_{p-2})X^p+...$$
Et on voit que les $a_i$ se calculent de proche en proche avec $a_0=\lceil-\frac n{10}\rceil$ , $a_1=\lceil-\frac{7a_0}{10}\rceil$ , $a_2=\lceil-\frac{7a_1+a_0}{10}\rceil$ , ... ,  $a_p=\lceil-\frac{7a_{p-1}+a_{p-2}}{10}\rceil$ , ...

Il reste à montrer l'existence de R c'est à dire à prouver que les coefficients finissent bien par être tous nuls .

Ca ne doit pas être trop difficile  (on a déjà une décroissance large sur les valeurs absolus des coefficients ) mais là je n'ai pas le temps

En tout cas c'est un magnifique problème !!!

Vasimolo

Bon en fait c'est assez simple mais un peu long à écrire

En valeur absolue les $|a_k|$ sont décroissants et même strictement si $a_k$ est positif et comme $|a_k|=|a_{k+1}|$ entraîne que $a_k$ et $a_{k+1}$ sont de signes contraires on a fini .

Vasimolo