Salut nodgim,

voici déjà la première réponse.

On a l'équation a(50+a)=b(81+b) qu'on peut réécrire a²+50a-b(81+b)=0. C'est une équation du second degré en a, qui admet une seule solution positive : a=-25+V(625+b(81+b)).

Pour que cette solution soit entière, il faut que 625+b(81+b)=x² où x est entier, d'où on tire b²+81b+(625-x²)=0, une nouvelle équation du second degré, en b cette fois-ci.

Son discriminant est 4x²+4061, il faudrait que l'on ait 4x²+4061=c² avec c entier pour que b soit lui-même un entier. Ceci donnerait 4061=c²-4x²=(c-2x)(c+2x). Or 4061 ne se décompose que en 31*131 ou 1*4061.

La première possibilité donne x=25 et c=81, ce qui correspond au cas trivial où b=0 et a=0.

La deuxième donne x=1015 et c=2031, ce qui donne a=990 et b=975. Le produit de départ est alors 990*1040=975*1056.

Je vais réfléchir au second problème.

Bonsoir nodgim,

Posons i = c-a; j = f-b; avec i<j

a*(a+i) = b*(b+j)
(a+i/2)**2 - (i/2)**2 = (b+j/2)**2 - (j/2)**2
(2*b+j)**2 - (2*a+i)**2 = j**2 - i**2
(2*b+2*a+j+i) * (2*b-2*a+j-i) = (j+i) * (j-i)

En identifiant les facteurs de chaque membre, on trouve
la solution triviale : a=b=0

Pour n'avoir qu'une seule autre solution, les nombres
(j+i) et (j-i) doivent être premiers
(autrement dit, j et i doivent être respectivement la
demi-somme et la demi-différence des 2 mêmes
nombres premiers).

(2*b+2*a+j+i) = (j+i)*(j-i)
(2*b-2*a+j-i) = 1

D'où :
a = ( (j+i)*(j-i)-2*i-1 )/4 = ( j**2-(i+1)**2 )/4
b = ( (j+i)*(j-i)-2*j+1 )/4 = ( (j-1)**2-i**2 )/4
N = ( (i**2-j**2)**2 - 2*(i**2+j**2) + 1 )/16

Avec les valeurs initiales :
i=50; j=81; (j+i)=131 et (j-i)=31 sont bien premiers
On obtient : a=990, b=975, N=1029600

@ Enigmatus: c'est plus clair avec ce supplément d'infos.

Je suis entièrement d'accord avec ta démo, et, même si tu n'as pas suivi tout à fait la même démarche que la mienne, tu es arrivé à la même catégorie de nombres à une seule solution. Bravo.

Question subsidiaire :

Dans le cas général, le nombre de solutions est il fini ou infini ?

OK, c'est bon Enigmatus. J'ai une autre expression qui permet de donner le max, tu verras ça à la fin.

Très bien Ebichu, c'était aussi ma solution, bien que présentée différemment.

Ce temps là est au fond du seau.

Les différentes approches qu'on peut lire donnent la solution au problème. Je présente ma version, avec un commentaire à la fin.

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Dans N, trouver, à la main, la ou les valeurs de n tel que :

n = a * c = b * f avec c - a = 50 et f - b = 81.

Généralité :
Trouver une construction de couples ( c - a , f - b ) tel que n est unique.


Solution :

Soit da = c - a , db = f - b et d = db - da ( avec a > b )

n = a ( a + da ) = b ( b + db )

a² - b² = b * db - a * da = ( b - a ) * da + b * ( db - da ) = ( b - a ) * da + b * d 

( a - b) * ( a + b + da ) = b * d

On pose a = b + k

k * ( 2b + k + da ) = b * d

k * ( k + da) = b * ( d - 2 k )

b  = k * ( k + da ) / ( d - 2k )....... ( il faut  0 < k < d / 2, ce qui nous dit que le nombre de solutions est fini )

De cette formule, pour trouver b entier, il faut soit d - 2k = 1.......: toujours possible si d impair. Soit d - 2k divise k ( k + da )

Si on s'arrange pour avoir d - 2k premier avec k et ( k + da), alors, la solution sera unique.

On choisit d = p = da - db et q = da + db, p et q nombres premiers > 2 .

PGCD ( k , d - 2k ) = PGCD ( 2k, d - 2 k ). Or la somme 2k + ( d - 2k ) = d = p premier, impossible d'avoir un facteur premier commun autre que p, mais p > p - 2k ne convient pas.

Donc PGCD ( k, d - 2k ) = 1

PGCD ( k + da, d - 2k ) = PGCD ( 2k + 2da, d -2k). Or la somme = d + 2 da = db + da = q premier, donc idem que ci dessus. PGCD ( k + da, d - 2k) = 1


En choisissant un couple de nombres premiers impairs ( p , q ), on en déduit un couple ( da, db ) = ( ( q - p ) / 2 ; ( q + p ) / 2 ) puis les valeurs suivantes ( car k = (p-1) / 2 ) :

a  = ( pq-1) / 4 - ( q - p ) / 4

c =   ( pq-1) / 4 + ( q - p ) / 4

b =  ( pq+1) / 4 - ( q + p ) / 4

f =  ( pq+1) / 4 + ( q + p ) / 4

n  = ( p²q ² - p² - q² + 1 ) / 16

Pour la question posée : p = 31 , q = 131 et n = 1029600 avec comme décomposition 990 * 1040 et 975 * 1056 

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Extrait  :

b  = k * ( k + da ) / ( d - 2k )....... ( il faut  0 < k < d / 2, ce qui nous dit que le nombre de solutions est fini ).

Commentaires :

C'est le d-2k qui donne le nombre max de solutions possibles, d étant concrètement dans l'exemple 81 - 50 = 31.

J'ai trouvé assez étonnant que, lorsque l'on cherche des nombres n dont l'écart entre f facteur et  n / f est fixé, on a évidemment une infinité de solutions. En revanche, lorsque l'on donne 2 écarts ( n/f -n) et (n/f' - f') alors le nombre de solutions est limité. Ce n'est pas forcément intuitif.

Merci aux participants !