J'ai une solution triviale : l'ensemble des nombres formés d'un seul chiffre.
On aura alors : A=n^n et on a bien n|(n^n).

Pour les autres solutions, je cherche encore ...

Peux-tu préciser si on se place en convention 0^0=0 ou 0^0=1. Merci

Un peu complexe pour moi. J'ai failli conclure plein d'âneries...

juste 2 observations pour le moment (et une question : pourquoi "CE" nombre ? )

- 1, 2, 3..9 sont solutions triviales.

Un tableur donne les solutions suivantes pour n<1000

63, 64, 93, 157, 377, 699

ce qui n'a rien d'intuitif a prime abord.


- le nombre de solutions est fini

en effet pour tout nombre A de n chiffres
A>10^(n-1) et f(A)<n*9^9

donc a partir de n assez grand on  a f(A)<A et A ne peut pas être solution.

Attention, c`est n divise A et non l`inverse.

@nodjim

C`est encore plus excitant de paritionner N en plusieurs sous-ensembles qui ne se recoupent pas (no overlapping):
- Ensemble 1 : n divise A
- Ensemble 2 : A divise n (constitue par tous les n ous A divise n)
- Ensemble 3 : n ne divise pas A, A ne divise pas n, gcd(n,A)>1
- Ensemble 4 : n ne divise pas A, A ne divise pas n, gcd(n,A)=1

On a une parition de N en 4 dont les sous-ensembles doivent bien receler quelques proprietes a decouvrir, je pense.

Cela reste un probleme assez ouvert. 200 a 300 pages de demonstration n`y suffirait pas.

Jusqu`a present, personne n`a essaye de formaliser le probleme.
Je suis trop vieux pour les calculs. Fastidieux, longs et au bout ce n`est pas sur que cela debouche sur des choses plus simples.

Douteux?
Il y a des choses a deduire :

3^3,6^6,9^9 doivent avoir des choses en commun je suppose.
idem pour 2^2,4^4,8^8 etc....

Pas grave pour le pseudo, car en effet les 2 orthographes existent selon le site.

Pour cette enigme, je ne pense pas qu'il y ait de possibilités de simplification et je vais m'expliquer. J'ai tout de même trouvé que 64 divise 6^6+4^4, et c'est la seule puissance de 2 dans ce cas.

Prenons les nombres à 2 chiffres:
10,11 et 12 sont trop grands.
13 est il divisible par 3^3+1 ? Evidemment, non, mais c'est juste parce qu'on sait calculer facilement 3^3+1. Rien à priori n'empêche que 13 puisse diviser 3^3+1. Il faut faire le calcul et vérifier.

14 ne divise pas 4^4+1. Là c'est facile car 14 est pair et 4^4+1 impair. Ainsi, on peut généraliser : un nombre pair dont la somme des chiffres est impaire ne peut pas diviser le nombre formé par la somme des puissances "jumelles" des chiffres car cette somme est impaire. 

15 n'est pas divisible par 5^5+1 car ce nombre n'est pas divisible par 5.

17 est peut être divisible par 7^7+1. Rien ne l'empêche. il faut faire le calcul. A la limite, on sait que 7^16=1 modulo 17, et donc 7^8=1 ou -1 mod 17, et donc 7^7+1 ne peut diviser 17. Mais j'ai fait une réflexion spéficique à ce nombre, qui n'est d'aucune utilité pour les autres nombres.

Et il y a beaucoup de nombres incertains dans ce cas:
19, 23, 29, 37, 39, 41, 43, 46, ....

En résumé, il n'est pas possible de faire rapidement une liste exhaustive.
A la rigueur, on aura plus de chances de trouver de tels nombres en faisant par exemple toutes les sommes a^a + b^b + c^c (avec au moins un nombre >=5 parmi les 3) et de calculer les diviseurs de chacun d'eux. C'est sans doute de cette façon qu'on tombera le plus vite sur une solution.

Si on veut la liste de toutes les solutions, le passage par l'informatique me semble incontournable.