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 #1 - 09-06-2012 02:46:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

mathématiques pour les nuls 12 (foncyion unique)

N'ayez pas peur, elle est encore facile celle-là, ce n'est qu'un amuse bouche, la prochaine va être sensiblement plus difficile! Mouhahahah tongue

Sûr [latex]\mathbb{R}[/latex] quelle est la seule application indéfiniment dérivable dont toutes les dérivées (et elle-même) sont comprises entre -1 et 1, et telle que [latex]f'(0)=1[/latex] ?

Bonne chance,
Shadock smile

 
Réponse :
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 09-06-2012 03:10:08

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Mathématiques pour les nuls 12 (Fontcion unique)

Je serais tenté de répondre sinus (x) :
- sa dérivée (cosinus) est =1 à l'abscisse 0 ;
- elles sont indéfiniment dérivables par des fonctions comprises entre -1 et 1.

Mais la case réponse ne valide pas. hmm

 #3 - 09-06-2012 06:51:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1935
Lieu: 86310

Mathématiques pour les nuls 12 (Fonction nique)

sinus(x)

The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 09-06-2012 08:16:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,996E+3

Mathématiques pour les nuls 12 (Foonction unique)

Euh... sin (x) ?

Mais ce n'est pas validé en case réponse...hmm

 #5 - 09-06-2012 10:52:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

Mathématiques pour les nuls 12 (FFonction unique)

Je sais que c'est la fonction sinus mais je doute qu'il y ait une démonstration élémentaire de ce truc là smile

Vasimolo

 #6 - 09-06-2012 10:56:56

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 971

Mathématiques pou les nuls 12 (Fonction unique)

[TeX]\sin(x)[/TeX]
Il fallait demander aussi de prouver que c'est la seule réponse...

 #7 - 09-06-2012 12:12:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Mtahématiques pour les nuls 12 (Fonction unique)

Au moins la fonction sinus. Mais de là à dire que c'est la seule....

 #8 - 09-06-2012 12:26:37

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 724
Lieu: 37

Mathématiques pour les nuls 12 (Fontcion unique)

c'est dans mes cordes ca
sin(x)

When i was a child i was a jedi

 #9 - 09-06-2012 12:52:54

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Mathématiques pour les nuls 12 (Focntion unique)

Si la case réponse valide comme ce qui est écris sur une calculatrice wink
Vous avez donc tout juste.
Quant à la démonstration il va falloir faire mumuse ^^

Shadock tongue

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 09-06-2012 13:17:11

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Mathématiques poour les nuls 12 (Fonction unique)

si j'ai bien compris...
f(n)=n
f(n)=sin(n)
f(n)=cos(n);

Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
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 #11 - 09-06-2012 17:17:04

DeepSpeedou2.5
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 17
Lieu: Chez Les Bretons !

Mathématiques opur les nuls 12 (Fonction unique)

Sin(x) ! big_smile
On montre vite fait que sin est 1-lipschitzienne.
Du coup, ses dérivées sont majorées par 1 sur R.
Par contre le minoration par -1 ne me vient pas tout de suite, j'verrai... cool

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 #12 - 09-06-2012 23:41:51

shadock
Elite de Prise2Tete
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mayhématiques pour les nuls 12 (fonction unique)

Le plus dur et je cherche encore c'est de montrer qu'elle est unique.

Pour ceux qui aurait besoin d'un indice :
Spoiler : incide 1 On cherche une fonction indéfiniment dérivable et donc toutes les dérivées et elle même sont comprises entre -1 et1. Tracez un cercle vous verrez ça peut aider.

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 09-06-2012 23:59:27

Vasimolo
Le pâtissier
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Mathématiues pour les nuls 12 (Fonction unique)

L'existence est immédiate , pour l'unicité il faut passer par les complexes et/ou les séries de Fourier , bref ...

Vasimolo

 #14 - 10-06-2012 00:42:07

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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mathématiques pour lzs nuls 12 (fonction unique)

Vasimolo : Je suis en train de me faire un petit Taylor Lagrange ça à l'air d'être pas trop mal lollollol mais je n'ai pas l'habitude de ce genre de calcul sad

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 10-06-2012 00:56:48

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

MMathématiques pour les nuls 12 (Fonction unique)

Je pense immédiatement à une fonction trigonométrique, sachant que lorsqu'on dérive un sinus il devient cosinus, et vice versa (au facteur -1 près).

Je tente sin(x) et ça fonctionne !

Facile, en effet...

Je laisse le soin à d'autres de démontrer l'unicité, mes bonnes manières me perdront roll

La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]
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 #16 - 10-06-2012 11:07:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Mathématiques pour les nuls 12 (Fonction uinque)

SHTF47 a écrit:

Je laisse le soin à d'autres de démontrer l'unicité, mes bonnes manières me perdront roll

Tu es sur que tu ne veuilles pas essayer sad Spoiler : [Afficher le message] lol

PS : Quand j'ai écris que c'était facile, je pensais l'avoir démontré de a à z ^^ mea culpa

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 11-06-2012 12:14:08

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Mathématiques opur les nuls 12 (Fonction unique)

Je conjecture assez facilement f(x)=sin(x) (validé par la case réponse).
Pour le montrer facilement par contre, je n'ai pas encore trouvé l'astuce  permettant d'y arriver.
Je vais aussi chercher un peu le contre exemple (à base de sin(x)+cos(x), avec un bon coefficient ou un déphasage).

Amusant en tout cas.

 #18 - 11-06-2012 12:31:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

mathématiques pour les nuls 12 (finction unique)

Merci et bonne chance Rivas !

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 12-06-2012 12:19:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Mathématiques pour ls nuls 12 (Fonction unique)

Quand j'aurai la démo sur l'unicité, je vous mais la démo complète, et de préférence avec des balises LaTeX qui fonctionne ! sad

Shadock smile

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 12-06-2012 18:27:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3802

Mathématiques pour lees nuls 12 (Fonction unique)

Bon, j'ai mis la démo dans la marge de mon carnet, je n'avais plus trop de place, mais bon c'est évident...

 #21 - 12-06-2012 18:58:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

Mathématiques pour les nuls 12 (Fonctin unique)

Un peu de lecture smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-sinus.pdf

Vasimolo

 #22 - 12-06-2012 20:48:56

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

mathématiques pour les nuls 12 (fonction uniqie)

Je vais lire ça avant de me coucher. lol

"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #23 - 12-06-2012 20:59:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

Mathématiques pour les nuls 12 (Foncction unique)

Attention , ça peut servir de somnifère , mais quand ça vous tourne dans la tête toute la nuit , le réveil est plutôt pénible lol

Vasimolio

 #24 - 12-06-2012 23:13:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

mathématiques pour les nuls 12 (fonction unisue)

C'est clair que j'étais à côté de la plaque !
Si j'en ai une différente je vous la proposerai wink
Bon pour la prochaine énigme je vais engager un Béta-testeur. Je pense que Vasimolo fera bien l'affaire ! big_smile

Shadock

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #25 - 13-06-2012 00:12:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Mthématiques pour les nuls 12 (Fonction unique)

@Vasimolo: Un peu ardu (cela veut dire que cela dépasse mes compétences smile)mais très joli. Bravo.

J'avais exp(-x^2) en tête (ou des variantes) en plus de sin(x) mais évidemment cela ne vérifie pas f'(0)=1

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