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	Forum » Enigmes Mathématiques » Symétries et alignement de points Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=esereth]Bonjour, J'y vais. J'ai trouvé, c'est long, donc sans doute perfectible, et plus pénible à écrire qu'à concevoir. D'autant plus que j'aurais aimé joindre la figure (si quelqu'un peut m'expliquer comment faire ...) Edit : Merci Clement [url]http://www.prise2tete.fr/upload/esereth-exo1.ggb.png[/url] Pour résoudre il faut un triangle non isocèle et non rectangle. D'abord notons s1 la symétrie d'axe (H1) et s2 la symétrie d'axe (H2). s1(ABC)=A'B'C' et s2(A'B'C')=A"B"C". Les symétries sont des isométries et les images des hauteurs d'un triangle par symétrie sont des hauteurs du triangle image. Il est clair également que A'=A et B'=B". [b]Première partie : (H1), (H2) et (H3) sont concourantes et leur point de concours est orthocentre de ABC[/b] Notons H le point d'intersection de (H1) et (H2). Il est donc invariant par s1 et par s2. (B'H)=(H2), c'est une hauteur de A'B'C' donc (BH) qui est son symétrique par s1 est une hauteur de ABC => H est l'orthocentre de ABC. Par s1, (CH) a pour image (C'H) et par s2, (C'H) a pour image (C"H). Comme (CH) est une hauteur de ABC, (C"H) est une hauteur de A"B"C" => (C"H)=(H3), c'est à dire (H3) passe par H. [b]Deuxième partie : A", B', C' et H sont cocycliques.[/b] C'est un problème d'angle. (C"A",C"H)=(C'H,C'A") par symétrie par rapport à (H2) (C"A",C"H)=(B'H,B'A") puis qu'il ont le même complémentaire (triangles rectangles C"A"F et B'A"E) On en déduit l'égalité (C'H,C'A")=(B'H,B'A") ce qui entraine la cocyclicité des quatre points A",C',B' et H. [b]Troisième partie : E, F et G sont alignés[/b] Si on considère le cercle circonscrit au triangle A"B'C', H et un point du cercle circonscrit à ce triangle, et E, F et G sont les projetés orthogonaux de H sur les cotés de ce triangle. Ils sont alignés sur sur la droite de Simson de H relative au triangle A"B'C'. Joli exercice. Je continue à chercher ... une solution plus simple.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion clement.boulonne 30-08-2011 22:23:48 Voici un problème de géométrie un peu plus compliqué que les énigmes que j'ai proposé précédemment. "Soit ABC un triangle quelconque. On note D l’intersection de la hauteur (H1) du triangle ABC issue de A avec la droite (BC). On trace ensuite le triangle A'B'C' symétrique de ABC par rapport à (H1). On note E l’intersection de la hauteur (H2) du triangle A'B'C' issue de B' avec la droite (A'C'). On trace enfin le triangle A''B''C'' symétrique de A' B'C' par rapport à (H2). On note enfin F l’intersection de la hauteur (H3) du triangle A''B''C'' issue de C avec la droite (A''B''). Que peut-on dire des points D, E et F ?" J'attends une démonstration rigoureuse de votre part et non pas, une figure et dire que les points sont [...] EDIT : Enoncé Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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