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rivas · Résumé de la discussion

Maintenant qu'il est clos, je vous propose (verbatim) un des problèmes des éliminatoires du 26è championnat que j'ai trouvé très "esthétique" (ne me demandez pas ce que ça veut dire pour moi pour un problème de maths ).

Dans un carré de côté 2012 mm, on a tracé le patron de tétraèdre représenté ci-dessous, où le sommet situé en haut à droite est relié aux milieux de
deux côtés.
On veut réaliser le tétraèdre et y enfermer une boule qui soit parfaitement tangente aux quatre faces du tétraèdre.

Quel sera le diamètre de cette boule ?

On prendra, si besoin est 1,414 pour [latex] \sqrt2[/latex], 1,732 pour [latex]\sqrt3[/latex] et 3,1416 pour [latex]\pi[/latex] et on donnera la réponse arrondie au millimètre le plus proche.

PS: La case réponse valide la réponse numérique sans unité. Je serai en vacances lors de l'expiration du délai mais je suis certain que certains donneront une solution très détaillée qui tiendra lieu de solution officielle en mon absence. Je vérifierai à mon retour

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Une boule dans un tétraèdre Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=L00ping007]Merci pour l'idée d'utiliser le volume, ça m'a permis d'abandonner mon idée d'utiliser des coordonnées barycentriques, je pense que je ne m'en serais pas sorti. Je passe sur l'existence et l'unicité d'une sphère tangente aux 4 côtés, il doit exister de telles preuves sur le Net. Intuitivement, on peut s'en convaincre en enlevant la base du tétraèdre, en le retournant (comme un cornet de frites en fait). Si on met une boule à l'intérieur, elle arrive à se caler au fond du cornet. Et en augmentant progressivement le diamètre de la boule, celle-ci va bien finir par être tangente au plan de la face que l'on a enlevée. J'appelle r le rayon de la sphère, et O son centre. En choisissant 4 points parmi les 5 (les 4 sommets + le point O), on définit un autre tétraèdre. On peut alors définir 4 tétraèdres, disjoints, dont la réunion est le tétraèdre initial. Et les hauteurs de ces 4 nouveaux sont à chaque fois la distance R (distance de O aux faces) Le volume d'un tétraèdre peut s'exprimer à l'aide d'une de ses hauteurs h et de l'aire A de la face correspondante : [latex]V = \frac{Sh}3[/latex] Ainsi, le volume V du tétraèdre initial peut s'écrire ainsi, en fonction des aires A, B, C, D de ses 4 faces : [latex]V = \frac{Ar}3 + \frac{Br}3 + \frac{Cr}3 + \frac{Dr}3[/latex] Mais ô magie, la sommes des 4 aires A, B, C, et D vaut l'aire du carré de départ ! Donc : [latex]r = \frac{3V}{a^2}[/latex] Il ne reste donc plus qu'à calculer le volume du tétraèdre. En remarquant qu'une des arêtes (le côté du carré) est orthogonale à l'une des faces (le petit triangle rectangle isocèle), on a : Le triangle a une aire qui vaut [latex]\frac{a^2}8[/latex], et : [latex]V = \frac13\frac{a^2}8a[/latex] Après simplification, on trouve : [latex]r = \frac a8[/latex] Dans notre cas, a=2012, et comme on veut le diamètre[latex]\fbox{d = 503}[/latex] Qui aurait pu croire que la valeur était aussi simple :)[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion rivas 15-02-2012 10:43:46 Maintenant qu'il est clos, je vous propose (verbatim) un des problèmes des éliminatoires du 26è championnat que j'ai trouvé très "esthétique" (ne me demandez pas ce que ça veut dire pour moi pour un problème de maths ). Dans un carré de côté 2012 mm, on a tracé le patron de tétraèdre représenté ci-dessous, où le sommet situé en haut à droite est relié aux milieux de deux côtés. On veut réaliser le tétraèdre et y enfermer une boule qui soit parfaitement tangente aux quatre faces du tétraèdre. Quel sera le diamètre de cette boule ? On prendra, si besoin est 1,414 pour [latex] \sqrt2[/latex], 1,732 pour [latex]\sqrt3[/latex] et 3,1416 pour [latex]\pi[/latex] et on donnera la réponse arrondie au millimètre le plus proche. PS: La case réponse valide la réponse numérique sans unité. Je serai en vacances lors de l'expiration du délai mais je suis certain que certains donneront une solution très détaillée qui tiendra lieu de solution officielle en mon absence. Je vérifierai à mon retour Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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