Des matématiciens/informaticiens ont inventé une drôle de machine virtuelle.
Elle découpe le segment [0;1[ en tranches décimales.
1ère étape: de 0.1 à 0.9, soit 9 nombres décimaux
2ème étape: de 0.01 à 0.99 soit 99 nombres décimaux.
etc...
Chaque étape se produit régulièrement, à chaque unité de temps (UT)
soit au bout de n étapes, le segment est agrémenté de 10^n-1 repères.
Chaque nombre est inscrit sur 1 ligne d'un immense pavage virtuel.
La première ligne est affectée au plus petit nombre, soit 0.00..01
la dernière au plus grand soit 0.999...999.
Tous les nombres ont leur énièmes chiffres en partant de la gauche dans la colonne n. Le pavage a donc cette apparence à la 5ème UT:
0.00001
0.00002
0.00003
.
.
0.99999
il est à noter qu'à chaque UT, le nombre occupé par la énième ligne est divisé par 10, et que si l'on veut suivre un nombre donné, il faudra passer à la ligne 10n au minimum.

Depuis sa création il y a quelques années, il y a eu bien des UT et donc le nombre de lignes est devenu énorme.
Cette machine est maintenant ouverte au public. Un visiteur qui se présente choisit le nombre qu'il veut, et la machine l'amène directement sur la ligne du nombre, sur la 1ère colonne. Le visiteur a les pieds sur le pavage donc chaque pavé est marqué d'un chiffre. Comme le visiteur a choisi un nombre donné, et que la machine continue de créer à chaque UT, la machine le renvoie automatiquement sur la ligne du nombre choisi.
Un visiteur a choisi un nombre au hasard, en fait un nombre à écriture décimale illimitée mais rationnel, comme 1/3 par exemple. Quand il se trouve sur sa ligne, que voit il sur les lignes précédentes et sur les lignes suivantes ? S'il pose un drapeau sur la ligne juste en dessous ou au dessus de lui, que va t'il se passer après une UT ? 2 UT ? 3 UT ? (la machine suppose pour une ligne affectée d'un drapeau que le nombre correspondant est un nombre décimal limité au dernier chiffre existant au moment de la pose du drapeau)
Le visiteur sait qu'il n'est pas le seul en ce moment, il a noté qu'il y avait des millions de personnes sur le site, et pourtant, aussi loin qu'il regarde vers les lignes supérieures ou les lignes inférieures, il n'a vu personne ! Comment peut on l'expliquer ?

Il existe une infinité de paires de lignes correspondant à des nombres particuliers, qui restent voisines immédiates depuis la mise en route de la machine . A quels nombres correspondent ces lignes non séparables ?

Bonne visite et n'oubliez pas le guide en sortant.