Des matématiciens/informaticiens ont inventé une drôle de machine virtuelle. Elle découpe le segment [0;1[ en tranches décimales. 1ère étape: de 0.1 à 0.9, soit 9 nombres décimaux 2ème étape: de 0.01 à 0.99 soit 99 nombres décimaux. etc... Chaque étape se produit régulièrement, à chaque unité de temps (UT) soit au bout de n étapes, le segment est agrémenté de 10^n-1 repères. Chaque nombre est inscrit sur 1 ligne d'un immense pavage virtuel. La première ligne est affectée au plus petit nombre, soit 0.00..01 la dernière au plus grand soit 0.999...999. Tous les nombres ont leur énièmes chiffres en partant de la gauche dans la colonne n. Le pavage a donc cette apparence à la 5ème UT: 0.00001 0.00002 0.00003 . . 0.99999 il est à noter qu'à chaque UT, le nombre occupé par la énième ligne est divisé par 10, et que si l'on veut suivre un nombre donné, il faudra passer à la ligne 10n au minimum.
Depuis sa création il y a quelques années, il y a eu bien des UT et donc le nombre de lignes est devenu énorme. Cette machine est maintenant ouverte au public. Un visiteur qui se présente choisit le nombre qu'il veut, et la machine l'amène directement sur la ligne du nombre, sur la 1ère colonne. Le visiteur a les pieds sur le pavage donc chaque pavé est marqué d'un chiffre. Comme le visiteur a choisi un nombre donné, et que la machine continue de créer à chaque UT, la machine le renvoie automatiquement sur la ligne du nombre choisi. Un visiteur a choisi un nombre au hasard, en fait un nombre à écriture décimale illimitée mais rationnel, comme 1/3 par exemple. Quand il se trouve sur sa ligne, que voit il sur les lignes précédentes et sur les lignes suivantes ? S'il pose un drapeau sur la ligne juste en dessous ou au dessus de lui, que va t'il se passer après une UT ? 2 UT ? 3 UT ? (la machine suppose pour une ligne affectée d'un drapeau que le nombre correspondant est un nombre décimal limité au dernier chiffre existant au moment de la pose du drapeau) Le visiteur sait qu'il n'est pas le seul en ce moment, il a noté qu'il y avait des millions de personnes sur le site, et pourtant, aussi loin qu'il regarde vers les lignes supérieures ou les lignes inférieures, il n'a vu personne ! Comment peut on l'expliquer ?
Il existe une infinité de paires de lignes correspondant à des nombres particuliers, qui restent voisines immédiates depuis la mise en route de la machine . A quels nombres correspondent ces lignes non séparables ?
Bonne visite et n'oubliez pas le guide en sortant.
Cette machine crée en fait les nombres réels entre 0 et 1. Vous vous en êtes aperçus. Si un visiteur vient observer le nombre 0.3333...que voit il au dessus de lui ? La machine travaille depuis un bon bout de temps. Donc les nombres au dessus (<) et au dessous (>) de lui sont le même nombre que 0.3333...sauf que la fin différe: Au dessus 0.33333.....3332 et encore au dessus 0.33...3331 etc. Au dessous: 0.33...334 ;0.33...335, 6, 7.... Comme il est près de la virgule, à gauche, que les différences à l'unité sont très à droite de sa position, il ne voit guère que des 0.3333...en haut, en bas et sur sa propre ligne. S'il plante un drapeau sur la ligne au dessus de lui, après une UT, comme j'ai dit que la machine considérait ce nb à drapeau comme fini: Le visiteur est transposé à une distance égale à 10 fois celle qu'il occupait, +3. Sinon, si ce déplacement ne s'opérait pas, il resterait sur la même ligne, mais avec le nombre 0.0333... La machine transfère aussi le drapeau qu'il a planté en multipliant simplement la position par 10. On a alors dans la nouvelle configuration: 0.33..3320 drapeau 0.33..3321 0.33..3322 0.33..3323 ... 0.33..3330 0.33..3331 0.33..3332 0.33..3333 visiteur. Le drapeau est maintenant à 13 lignes au dessus du visiteur. Après une nouvelle UT, le drapeau sera à 13*10+3=133 lignes du visiteur. Encore une UT et le drapeau sera à 133*10+3=1333 lignes du visiteur etc.. Ceci explique donc de fait la raison pour laquelle chaque visiteur a l'impression d'être seul sur le pavage: ils s'éloignent tous les uns des autres de façon exponentielle.
Cependant, si un visiteur choisit par exemple comme nombre la fraction 1.62/9 et qu'un autre visiteur choisit au même moment 0.18, alors les lignes resteront toujours voisines puisque ces 2 nombres sont égaux: 1.62/9=0.1799999=0.18. Les visiteurs restent voisins. C'est le cas pour ttes les fractions en /9, ou /99 ou /999..
Ouai ou pas. Ils seront toujours décalé d'une infinité de 9 donc d'une infinité de lignes. Toi et l'infini vous faites vraiment deux.
Shadock
Il me semble que tu n'as pas compris le fonctionnement de la machine... D'autre part, je n'ai pas parlé de la projection à l'infini des résultats de la machine.
Non mais je ne suis pas énervé, c'est juste que mon raisonnement visant à confiner l'infini dans un espace fini est faux et je m'en suis rendu compte après. Maintenant que je suis sur que l'infini est infini je peux parler sans avoir de rappels de mon incompréhension lointaine. Maintenant écrire que .17999=0.18 infini ou pas c'est faux.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
nodgim je n'ai pas mis les points certes mais certains lecteurs avisés auront peut-être remarqué subrepticement "infini ou pas c'est faux" et ici infini dénotait les 9 après la virgule.
Et donc je suis d'accord avec le fait que les deux nombres sont infiniment proche mais il ne sont pas égaux. Je ne sais pas si je chipote, mais je veux bien une démonstration concrète d'un truc comme.
Mais arrêtons de chercher les ennuis là où il n'y en a pas. L'infini c'est beaucoup trop grand pour moi.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
Il me semble pourtant qu'ils sont égaux et non pas "infiniment proches"... justement parce qu'il y a UNE INFINITÉ DE 9. L'égalité se démontre alors avec un calcul de série par exemple, ou en utilisant des écritures fractionnelles. Quelqu'un pour confirmer ou infirmer?
La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]
Apparemment, l'ami Shadock a toujours autant de mal avec l'infini...
"Infiniment proches" veut dire "confondus", comme l'illustre par exemple la définition de limite d'une fonction (si tu l'appliques à un point qui appartient au domaine de définition de la fonction, ça devient flagrant : f(1)=2 veut dire que f est définie en 1 et que, quel que soit epsilon strictement positif, il existe khi strictement positif tel que f([1-khi,1+khi]) est inclus dans l'intervalle [2-epsilon,2+epsilon].)
Pour reprendre (en plus clair) la démo ci-dessus (un grand classique) :
[zoom]Soit X = 0.99999999999... Alors 10X = 9.999999999... (en décalant la virgule) En soustrayant la première à la seconde, j'obtiens 9X=9 soit X=1. QED, bitches.[/zoom]
PS : désolé pour la vulgarité du "QED, bitches", il vient de là :
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
Il me semble pourtant qu'ils sont égaux et non pas "infiniment proches"... justement parce qu'il y a UNE INFINITÉ DE 9. L'égalité se démontre alors avec un calcul de série par exemple, ou en utilisant des écritures fractionnelles. Quelqu'un pour confirmer ou infirmer?
Je confirme. 0,17999999... = 0,18
Ce sont 2 écritures décimales du même nombre. La première s'appelle l'écriture impropre.
Pour justifier que l'écriture impropre d'un nombre existe bien et est bien ce nombre: 0,1799999....= limite (n->oo) [ 0,17 + 9*Somme(k=3->n) 10^(-k) ]. On démontre aisement que la somme converge et on calcule aisement sa limite et on trouve donc l'égalité.
Il n'est pas possible d'écrire une machine qui crée tous les nombres réels (au sens de von Neumann) tout simplement car ceux-ci ne sont pas dénombrables...
Elle ne peut même pas construire un intervalle de R aussi petit (non nul) soit-il.
Elle pourra tout au plus construire un sous-ensemble dénombrables de ceux-ci (comme N, Z, Q ou bien d'autres) mais un tel ensemble à une mesure nulle dans R. C'est à dire qu'il y en vraiment très peu.
Cependant, si un visiteur choisit par exemple comme nombre la fraction 1.62/9 et qu'un autre visiteur choisit au même moment 0.18, alors les lignes resteront toujours voisines puisque ces 2 nombres sont égaux: 1.62/9=0.1799999=0.18. Les visiteurs restent voisins. C'est le cas pour ttes les fractions en /9, ou /99 ou /999..
On ne peut pas choisir 0,17999.......... (avec les points de suspension) puisque celui-ci a un nombre infini de chiffres et qu'à un instant donné, la machine n'a construit que des nombres avec un nombre fini de chiffres... Cette machine ne peut construire que des nombres décimaux et donc en aucun cas des /9, ....
Non, ce n'est pas capillotracté... la démo de Mathias le prouve allègrement je trouve. Simple, rapide, sans besoin de notions nouvelles, bref, une habile mise en évidence de ce concept qu'est le huit couché.
Je suppose que tu souhaites maintenant clore la parenthèse que tu avais ouverte... oublions tout ça, il ne s'est rien passé, de nombreuses UT ont coulé sous les ponts depuis
La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]
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